Песчаный холм

[physicsworks]

Оцените скорость движения песчаного холма (бархана) в пустыне полагая, что ветер дует примерно в одном направлении с неизменной заданной скоростью. Считать известными углы наветренной (поло́гая) и подветренной (крутая) сторон холма с горизонтом, его высоту, скорость ветра и размер песчинок. Можно ли по этим же данным оценить частоту звука, издаваемого холмом при его движении?

[Утундрий]

(Оффтоп)

В подобных случаях (если мне только не лень), я набираю & # 7 6 9 ; (без пробелов) после ударной гласной:
поло́гая

[physicsworks]

(Оффтоп)

Утундрий, спасибо, поправил. Мне больше привычно \'{о} набирать, юникоды не помню.

[lel0lel]

Если угол наклона пологой стороны невелик, а скорость ветра достаточно большая, тогда для скорости движения бархана у меня получается такой ответ

$$u=\frac{C_d \rho_a v^3 S}{2\rho_{s}g V},$$

здесь $C_d$ -- коэффициент сопротивления (для сфер он равен $0.47$), $\rho_a$ -- плотность воздуха, $\rho_{s}$ -- средняя плотность бархана или плотность песка, $v$ -- скорость ветра, $S$ -- площадь поверхности бархана с наветренной стороны, $V$ -- объём бархана.

В расчётах я полагал, что бархан имеет форму треугольной призмы, хотя это не так -- если смотреть на него сверху, он имеет вид полумесяца.

[physicsworks]

Общий числовой коэффициент там будет немного другой, но для оценки это не важно. Функциональная зависимость верная. Неплохо бы подставить численные значения, мне было интересно сравнить полученную оценку с реальной. А частоту звука оценивали?

[lel0lel]

Пусть будет призма, тогда

$$\frac{S}{V}=\frac{2\sin\beta}{H\sin(\alpha+\beta)},$$

где $H$ высота бархана.
Опираясь на wiki, $\alpha=15^\circ, \beta=35^\circ$. Годовое перемещение в метрах выражается формулой $\ell=512 v^3/H$.
С одной стороны несколько многовато, но ведь с другой стороны ветер должен ежесекундно дуть в одном направлении с постоянной скоростью. К тому же это правильнее назвать верхней оценкой годового перемещения, поскольку в своих расчётах, где только можно, я делал допущения в сторону увеличения потока песка. Ну и для слабых ветров формула будет давать неправильный ответ, а для очень слабых бархан вообще двигаться не будет.

physicsworks в сообщении #1482060 писал(а):

А частоту звука оценивали?

Пытался, но не разобрался в физике явления. Возможно звук происходит от ударов песчинок о поверхность склона в процессе сальтации, или в результате ссыпания песка с более крутого склона, еще и сам ветер нельзя исключать, ведь за барханом образуется вихрь. Начал гуглить, но определенного ответа не нашёл, лишь намёки, что звук связан всё-таки с трением песчинок друг о друга, а частота определяется формой песчинок.
Зато мне встретилась вот такая замечательная вещь:
«В древние времена путешествовал по миру шайтан. Подсматривал за людьми, строил козни, успевал везде и не пропускал ничего. Однажды прогневался на него Всевышний и лишил возможности молниеносно передвигаться с одного места в другое. Тогда шайтану пришлось пешком добираться до своего дома — а дом стоял на вершине горы. Долго шайтан шёл по степи, пробирался по извилистым тропам вдоль берегов реки Или, наконец устал и прилёг отдохнуть. Так труден был его путь и так тяжело было бремя свершённых им деяний, что шайтан уснул крепким сном. И спит он до сих пор, обратившись одиноким барханом, и ничто и никто не могут его разбудить — ни палящее солнце, ни дожди, ни грозы, ни ветры. Только иногда одинокий стон вырывается из его груди, когда кто-то пытается потревожить навсегда уснувшего шайтана».
Правда ведь всё сразу становится ясно и можно со спокойным сердцем идти спать.

[AnatolyBa]

lel0lel
А как вы все-таки оценивали поток песка?
Я получил формулу аналогичную вашей из энергетических соображений, но совершенно не учитывая потери на диссипацию.
Не уверен,что это правильно.

[lel0lel]

Пусть бархан за время $T$ перемещается на расстояние $L$, суммарное перемещение всех песчинок $LN=L\rho_s V/m_0$. Будем считать, что в каждый момент времени в движении находятся только те песчинки, которые подняты ветром с пологого склона бархана. На самом деле песчинки ещё могут двигаться перекатываясь по склону, но при больших скоростях ветра такое движение не будет давать существенного вклада в полный перенос песка, основной вклад будет от скачущих песчинок. Течение воздуха будем считать направленным вдоль склона (если угол наклона невелик, это оправданное допущение); скорость потока воздуха будем считать постоянной, вероятно это не совсем так, поскольку поток вблизи склона будет периодически тормозиться, насыщаясь песком, затем, когда часть песка упадёт, он снова будет набирать скорость, то есть будут колебания скорости потока и массы песка поднятой в воздух, но не будем учитывать этот эффект, полагая, что амплитуда этих колебаний мала.
Процесс отрывания частиц от плоскости я себе представляю следующим образом (могу ошибаться): когда частица лежит на склоне, то поток обтекает частицу сверху, а снизу (в области соприкосновения со склоном) образуется вихрь и возникает подъёмная сила перпендикулярная скорости потока. Особенность этой силы в том, что она возникает только когда частица находится достаточно близко к склону, как только расстояние между частицей и склоном увеличивается, подъёмная сила исчезает, и на частицу действуют только сила тяжести и сила сопротивления воздуха, которая направлена вдоль склона. Пусть ось $y$ перпендикулярна склону и направлена вверх, время отрыва $\tau$ (в течении этого времени действует подъёмная сила). Тогда импульс приобретённый к моменту окончания отрыва направлен по $y$ и равен $(k C_d\rho_a v^2S_0/2-m_0g\cos\alpha)\tau$, здесь безразмерный коэффициент $k<1$ это результат усреднения подъёмной силы; пропорциональность подъёмной силы и силы лобового сопротивления следует из того, что эти силы одной природы. Пусть в насыщенном песком потоке содержится песок массой $\Delta m$, так как количество песка остаётся неизменным, то аналог закона изменения импульса в проекции на ось $y$ имеет вид

$$\Delta m g \cos \alpha\Delta t=(k C_d\rho_a v^2S_0/2-m_0g\cos\alpha)\tau\frac{S}{S_0}\frac{\Delta t}{\tau},$$

тогда

$$\Delta m=\frac{k C_d\rho_a v^2S}{2g\cos\alpha}-m_0\frac{S}{S_0}.$$

Видно, что при больших $v$ масса песка над склоном (стало быть и количество песчинок) пропорциональна площади склона и квадрату скорости ветра.

Дальше уже просто. Оценим скорость в момент окончания разгона (или отрыва) песчинки (эта скорость является начальной скоростью для прыжка и направлена по $y$). Поскольку на большом расстоянии от склона подъёмной силы уже нет возьмём длину разгона равной радиусу песчинки $r_0$, тогда

$$v_{0y}\approx\sqrt{(k C_d\rho_a v^2S_0/2-m_0g\cos\alpha)r_0/m_0}.$$

Время по прошествии которого частица вновь упадёт на склон или длительность прыжка равна $2v_{0y}/(g\cos\alpha)$, здесь важно заметить, что это время при больших $v$ почти пропорционально $v$. Наконец уравнение движения песчинки в проекции на ось $x$ (она направлена вдоль склона): $m_0\ddot{x}=C_d\rho_a(v-\dot{x})^2S_0/2-m_0g\sin\alpha$. Можно его проинтегрировать, но для оценок это излишне. Видно, что при больших скоростях ветра скорость песчинки будет стремиться к величине достаточно близкой к $v$ (точное значение можно найти положив $\ddot{x}=0$). Остаётся оценить время выхода на этот стационарный режим, при больших скоростях ветра получается оценка $t_s\approx m_0/(C_d\rho_a v S_0)$, как видно $t_s$ обратно пропорционально $v$. Итак, при больших $v$ время за которое песчинка набирает почти стационарную скорость $v_s$ оказывается маленьким, а длительность прыжка (пропорциональна $v$) оказывается большой. Следовательно, можно считать, что все частицы находящиеся в потоке имеют скорость

$$v_s=v-\sqrt{\frac{2m_0g\sin\alpha}{C_d\rho_a S_0}}.$$

В самом начале был записан суммарный путь всех песчинок $L\rho_s V/m_0$ за время $T$, этот же путь равен $\Delta m/m_0 v_s T\cos\alpha$. Итоговая формула скорости бархана:

$$u=\frac{L}{T}=\frac{S}{\rho_s V}\left(\frac{k C_d\rho_a}{2g} v^2-\frac{m_0}{S_0}\cos\alpha\right)\left(v-\sqrt{\frac{2m_0g\sin\alpha}{C_d\rho_a S_0}}\right).$$

Вот коэффициент $k$ не удаётся рассчитать, ясно лишь одно -- он не превосходит единицы.

[AnatolyBa]

lel0lel
Очень интересно.
Я стал думать над задачей уже после вашего ответа и после подтверждения physicsworks
И заметил, что формула может быть получена из следующих соображений.
Если бархан движется со скоростью $u$, то за время $\Delta t$ с наветренной стороны сметается слой объема $u \Delta t S \sin (\alpha) $, $S$ - площадь наветренной стороны, $\alpha$ угол подъема.
Этот песок поднимается до вершины бархана приобретая потенциальную энергию $u \Delta t S \sin (\alpha) \rho_s g H /2$. А кинетической можно пренебречь, чтобы получить вашу формулу (но это, кажется, крупная неточность).
Далее, энергия приобретается за счет работы $F v \Delta t$ силы порядка $F=\dfrac{\rho v^2}{2}S \sin (\alpha)$. Т. е. что-то вроде силы сопротивления поверхности наветренной стороны бархана в проекции на плоскость перпендикулярную ветру.
И вот, получается ваша формула ($V \approx SH/2$). Но, кроме того , что не учтена кинетическая энергия, не учтены также всевозможные потери.
Вы, конечно, получили формулу из совершенно других, я бы сказал, микроскопических соображений. Но настораживает то, что ее же можно получить энергетически, и не учитывая очень принципиальные факторы. И по-моему все-таки формула дает очень завышенную скорость по сравнению с данными о скоростях барханов из википедии.

[Утундрий]

Строго говоря, задача о поднятой ветром пыли математически некорректна.

[physicsworks]

Там не пыль, там песчинки, на ~2 порядка больше по размеру.

[lel0lel]

Есть в этой задаче некоторые моменты, которые хотелось бы обсудить.
Предположение о том, что

lel0lel в сообщении #1482160 писал(а):

скорость потока воздуха будем считать постоянной

для вязких сред выглядит неоправданным. Нужно честно составлять уравнение и находить профиль скорости над поверхностью склона, поскольку важно знать градиент скорости в приповерхностном слое, от него будет зависеть величина подъёмной силы при отрыве песчинки. Также изменится уравнение для прыжка песчинки, ведь она будет двигаться в потоке, скорость которого зависит от расстояния до склона. Ещё надо учесть, что поток насыщенный песком имеет плотность выше чем плотность воздуха, это должно быть учтено при расчёте подъёмной силы; возникает в некотором роде цепная реакция -- песчинки, которые уже подняты в воздух, при падении на склон выбивают другие песчинки. Таким образом песок поднятый со склона с одной стороны увеличивает среднюю плотность потока это ведёт к увеличению подъёмной силы, с другой стороны он изменяет профиль скорости в приповерхностном слое (поток замедляется), это ведёт к уменьшению подъёмной силы. При решении задачи всё это необходимо учитывать. В результате ответ по-прежнему будет содержать куб скорости, но не скорости потока на большой высоте над склоном, а так называемой friction velocity, которая впрочем пропорциональна средней скорости потока.

Можно бы и решить эту задачу аккуратно, но поскольку существует не один десяток работ по этой теме, то просто поделюсь некоторыми ссылками.
Bagnold_formula Wiki
Поиск работ по теме в google scholar
На русском языке удалось найти очень хорошую и понятную статью горизонтальный перенос тяжёлых частиц воздушным потоком (Э. К. Бютнер) (стр. 59).

Несколько слов о самой задаче, кстати её тоже удалось найти: смотреть задачу 246 на странице 66 задачника https://mipt.ru/dppe/files/kiv_tasks.pdf, автор А. А. Пухов.
В задаче не сказано о том про какую скорость ветра идёт речь, наверное нужно догадаться, что про скорость ветра на большой высоте. Ответов в задачнике нет, видимо чтобы студенты не подгоняли

[physicsworks]

Эту задачу в качестве дополнительного вопроса я когда-то давно получил от покойного Веселаго на экзамене. Оценку скорости я быстренько сообразил примерно в тех же чертах, что и Вы, получив т.н. формулу Багнольда, а вот оценку частоты звука он забыл проверить (а я не был готов ответить). Пухов, скорее всего, взял задачу из того же источника, но по каким-то причинам не указал этого. В книге Багнольда The Physics of Blown Sand and Desert Dunes, кстати, очень хорошо исследованы многочисленные процессы, происходящие при движении песчинок. Задача была, конечно, оценочной и здесь не предполагалось копать так глубоко, но заинтересованному человеку есть что почитать в вышеуказанной книге.