Нахождение предела рекуррентной последовательности

[toofack]

Последовательность задана рекуррентным соотношением ${x_{n+1}} = \frac{x_{n}+n{x_{n-1}}}{n+1}$
${x_{0}}=0$
${x_{1}}=1$
Понимаю, что задача в какой-то степени детская но, к сожалению, я пока не имею общего представления, как решать такие задачи. Конечно, имею представление о рекуррентных последовательностях и о том, что их можно решать, но всегда ли будет получаться их решать? Все-таки хотелось бы узнать, как решать такие задачи, не хочу этого писать, "не техническими" способами. Я не прощу ее решать за меня, хотя я уверен, что большинство из вас с первого взгляда уже поняло, куда она стремится, а лишь подтолкнуть и указать, в каком направлении мыслить.

[Утундрий]

Попробуйте рассмотреть свойства функции $x(x) = \sum\limits_{x = 0}^\infty {x_x x^x } $.

[vpb]

Тут как-то принято предъявлять хоть какие-то попытки собственного решения. Тем более если задача децкая. См. правила. А то создается впечатление, что

Карнеги верный ученик
Имхо, на форум к нам проник ...

[StaticZero]

toofack в сообщении #1482554 писал(а):

подтолкнуть и указать, в каком направлении мыслить.

Надо просто правильно приготовить соотношение:

$$ x_{n+1} = \frac{1}{n + 1} x_n + \frac{n}{n + 1} x_{n - 1} $$

Последовательность-то что делает, растёт толком али нет? Что будет, если взять $n = 10^8$?

[Padawan]

Предел можно представить в виде суммы знакочередующегося ряда типа Лейбница. Сумма этого ряда хорошо известна.

-- Ср сен 09, 2020 12:54:20 --

Перепишите уравнение так

$$ x_{n+1}-x_n=-\frac n{n+1}(x_n-x_{n-1}) $$

[vpb]

Padawan
Да уж, в ШАД (скорее всего задача оттуда; там все такие на вступительных --- тривиальные, но весьма остроумные) у Вас бы хорошо получилось поступить.

[vatrushka]

toofack:

https://efiminem.github.io/supershad/26-05-2013/

Тут есть решения многих задач + гуглите видео одного ютубера - там решения почти всех задач из всех экзаменов за исключением буквально нескольких