Компоненты тензора энергии-импульса

[MaхVT]

В классическом учебнике "Теория поля" Ландау, Лившица в параграфе 32 определяется тензор энергии-импульса таким образом:

$$ T^{k}_{i}=q_{,i}\frac{\partial\Lambda}{\partial q_{,k}}-\delta^{k}_{i}\Lambda, $$

где $\Lambda=\Lambda\left(q,\frac{\partial q}{\partial x^{i}}\right)$ --- лагранжиан.

Авторы говорят, что сам тензор, вообще говоря, не симметричен. Однако не указывают какой из индексов ($k$ или $i$) первый. Хотя в параграфе 6 утверждали, что неразличимость порядка индексов у тензора второго ранга они будут использовать, когда последний симметричен. С чем связана такая непоследовательность в действиях?

И всё-таки выписанная выше формула определяет $T^{k\cdot}_{\cdot i}$ или $T^{\cdot k}_{i\cdot}$ ?

[Dolopihtis]

MaхVT писал(а):

В классическом учебнике "Теория поля" Ландау, Лившица в параграфе 32 определяется тензор энергии-импульса таким образом:

Ну, судя по тому , что там у них написано дальше, то $T^{\cdot k}_{i\cdot}$. Хотя это наверно не так уж и важно.

[MaхVT]

Dolopihtis писал(а):

Ну, судя по тому , что там у них написано дальше, то $T^{\cdot k}_{i\cdot}$. Хотя это наверно не так уж и важно.

В принципе я догадываюсь, откуда можно сделать такой вывод. Совсем явно это следует из параграфа 33, где авторы путем поднятия индексов смешанные компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля переводят в контравариантные. И как раз здесь это важно. Ведь при поднятии они пишут индексы в порядке $ik$, что и означает начальную компоненту вида $T^{\cdot k}_{i\cdot}.$ Но если быть последовательным, то откуда мне это знать?

С другой стороны, это может следовать и гораздо быстрее из соотношения еще в параграфе 32: $\frac{\partial T^{i}_{k}}{\partial x^{k}}=0$. Конечно, хочется считать (хотя из текста как это понять?), что это просто компонентная запись равенства ${\mathrm{div}}\,T=0$. Дивергенцию тензора $T$ ранга 2 я привык определять в виде ${\mathrm{div}}\,T=\nabla_{i}T^{mi}{\bf{e}}_{m},$ где $\nabla_{i}$ --- знак ковариантного дифференцирования, ${\bf{e}}_{m}$ --- векторы базиса (не знаю, насколько общо это определение). Ну, и тогда, конечно, становится ясным, что должно быть $T^{\cdot k}_{i\cdot},$ потому что только в этом случае можно поднять индекс, получив $T^{ik},$ а значит, и $\nabla_{k}T^{ik}=0.$

Но в любом случае приходиться сочинять то, чего в тексте нет. Про важность я уже сказал: если не указать тип смешанных компонент, то непонятно какой вид будут иметь контра-( или ко-)вариантные компоненты.

[Dolopihtis]

MaхVT писал(а):

С другой стороны, это может следовать и гораздо быстрее из соотношения еще в параграфе 32: $\frac{\partial T^{i}_{k}}{\partial x^{k}}=0$.

Я это и имел в виду.

MaхVT писал(а):

Но в любом случае приходиться сочинять то, чего в тексте нет.

Ну, для книг ЛЛ это обычное дело.

[Munin]

MaхVT писал(а):

Дивергенцию тензора $T$ ранга 2 я привык определять в виде ${\mathrm{div}}\,T=\nabla_{i}T^{mi}{\bf{e}}_{m},$ где $\nabla_{i}$ --- знак ковариантного дифференцирования,

Да плоское там всё в 32 параграфе, можно брать обычную производную, а не ковариантную.

[MaхVT]

Munin писал(а):

Да плоское там всё в 32 параграфе, можно брать обычную производную, а не ковариантную.

А кто ж спорит с этим? Я просто привел привычное мне определение. Конечно, здесь $\nabla_{i}=\partial_{i}.$

[lopuxov]

Здравствуйте! У меня вопрос, имеющей прямое отношение к теме этого обсуждения - как выглядит в компонентах тензор электромагнитного поля 1 раз контра- и 1 раз ковариантный. Это нужно, поскольку наполовину непонятно как в Ландау-Лифшице (параграф 33) получаются диагональные пространственные компоненты тензора энергии-импульса.

[Munin]

Правило поднятия и опускания индексов - ЛЛ-2 § 6 с. 31-33.
$F^k{}_l=(F^0{}_l, F^1{}_l, F^2{}_l, F^3{}_l)=(F_0_l, -F_1_l, -F_2_l, -F_3_l)=$
$=\left(\begin{array}{cccc} 0&\phantom{-}E_x&\phantom{-}E_y&\phantom{-}E_z\\ E_x&\phantom{-}0&\phantom{-}H_z&-H_y\\ E_y&-H_z&\phantom{-}0&\phantom{-}H_x\\ E_z&\phantom{-}H_y&-H_x&\phantom{-}0 \end{array}\right)$