Тензор перехода в кинематической паре

[svv]

Ну, то, что подход был правильный, уже хорошо.
Сверимся. Какие у Вас получились частные производные $\frac{\partial \rho}{\partial x}$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial x}$ ?

[Alm99]

svv
$g_{xx}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2} }+ \frac{y^{2}\rho^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

-- 08.09.2020, 01:16 --

svv
Ой, я уже с возведением в квадрат написал

[svv]

Совершенно верно, теперь учтите, что $x^2+y^2=\rho^2$.

[Alm99]

svv
$g_{xx}=\frac{x^{2}}{\rho^{2}}+\frac{y^{2}}{\rho^2}$

[svv]

$...=\frac{x^2+y^2}{\rho^2}$
А что будет, если ещё раз учесть, что $x^2+y^2=\rho^2$ ?

[Alm99]

svv
1

[svv]

А как Вы думаете, какое получится $g_{yy}$, если так же аккуратно всё посчитать?

[Alm99]

svv
Так же. Я то обсчитался, но все же...

[svv]

Да.
Но ведь по-другому и получиться не могло. Потому что метрический тензор в стандартной декартовой системе координат (где базисные векторы единичны и взаимно перпендикулярны)
$(g_{ik})=\operatorname{diag}(1,1,1)$
независимо от способа получения. Он характеризует только декартову систему, а не переход из цилиндрической (или другой) системы в декартову.

[Alm99]

svv
Ну а если все же, тензор характеризует косоугольные декартовы координаты, в цилиндрических его не запишешь

[svv]

В цилиндрических он всё равно будет иметь тот вид, который я приводил выше. Только в этом случае изменятся формулы преобразования координат.

[Alm99]

svv
Можете пояснить, пожалуйста, как они будут записаны в этом случае? А то сейчас не понимаю, ну как пример, насколько они будут отличаться?

Но не прямо сейчас...

[svv]

Пусть $(x,y)$ — декартовы прямоугольные координаты на плоскости (с единичным метрическим тензором), $(\xi, \eta)$ — косоугольные. Пусть
$x=\xi$
$y=\xi+\eta$
Тогда, обратно,
$\xi=x$
$\eta=y-x$

1) В формулы
$\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \;\varphi=\arctg\frac y x$
вместо $x$ и $y$ подставьте их выражения через $\xi$ и $\eta$.

2) В формулы
$\xi=x,\; \eta=y-x$
вместо $x$ и $y$ подставьте их выражения через $\rho$ и $\varphi$.

[Alm99]

svv
Хорошо, ещё раз доброй ночи!

[Alm99]

svv
Добрый вечер, уважаемый svv! Я прошу Вас простить мне мои глупые предположения! У меня возник вопрос, уточнение требуется, вот смотрите, в случае, если еще ось z имеется, я могу просто ее тогда обозначить дополнительной буквой, и вот хотел спросить, по сути перевод из прямоугольной в косоугольную систему, можно ли рассматривать как линейное преобразование над x,y,z, ну например полилинейная интерполяция? Или нет? Т.е именно как связь кос угольной с прямоугольной в пространстве...