Нейтральный элемент при гомоморфизме аддитивных групп

[Vladimir Pliassov]

В учебном пособии http://www.fipm.ru/linotr.shtml стоит:

"Линейное отображение является гомоморфизмом аддитивных групп."

Приводится также формула

$$f(al)=af(l)$$

где $f$ - линейное отображение, $a$ - скаляр, $l$ - вектор, и доказательство того, что нейтральный элемент отображается в нейтральный:

$$f(0)=0f(0)=0.$$

Но, может быть, здесь опечатка, может быть, имеется в виду (при $\vec l=\vec 0$)

$$f(a\vec l)=af(\vec l) \to f(a\vec 0)=af(\vec 0) \to f(\vec 0)=af(\vec 0) \to f(\vec 0)=\vec 0? $$

[mihaild]

Уже известно, что $0 \cdot \vec l = \vec 0$? Если да, то почему опечатка? Просто подставьте $a = 0$, $\vec l = 0$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1482389 писал(а):

Уже известно, что $0 \cdot \vec l = \vec 0$? Если да, то почему опечатка? Просто подставьте $a = 0$, $\vec l = 0$.

Известно, что $\vec l=\vec 0$, потому что речь идет об отображении нейтрального элемента. Но $a$ может быть произвольным, и тогда именно из того, что оно произвольное, цепочка

$$f(a\vec l)=af(\vec l) \to f(a\vec 0)=af(\vec 0) \to f(\vec 0)=af(\vec 0) \to f(\vec 0)=\vec 0 $$

является доказательством того, что нейтральный элемент отображается в нейтральный: независимо от значения $a$

$$ f(\vec 0)=af(\vec 0), $$

то есть $ f(\vec 0)= 0.$

[mihaild]

Нам же не нужно для произвольного $a$.. Нам в итоге нужно доказать, что $f(\vec 0) = \vec 0$. Ну вот представим $\vec 0$ слева как $0 \cdot \vec 0$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1482402 писал(а):

Нам же не нужно для произвольного $a$.. Нам в итоге нужно доказать, что $f(\vec 0) = \vec 0$. Ну вот представим $\vec 0$ слева как $0 \cdot \vec 0$.

А, если так, тогда убедили. Спасибо!