Численное решение бигармонического уравнения

[nikitaorel1999]

Здравствуйте! В процессе выполнения курсовой работы (касающаяся решения плоской задачи теории упругости)
возникла необходимость в численном решении бигармонического уравнения $\Delta^2 \varphi(x,z) = 0$ в квадратной области
$\Omega = [-a,a]\times [0,2a]$.
Граничные условия задаются на границах следующим образом:

$$ \begin{array}{l} \left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 0} = - p\left( x \right),\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 0} = - q\left( x \right),\,\, - a \leqslant x \leqslant a, \\ \left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 2a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 2a} = 0,\,\, - a \leqslant x \leqslant a, \\ \left. {\varphi _{zz} } \right|_{x = - a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = - a} = 0,\,\,0 \leqslant z \leqslant 2a, \\ \left. {\varphi _{zz} } \right|_{x = a} = 0,\,\,\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = a} = 0,\,\,0 \leqslant z \leqslant 2a. \\ \end{array} $$

Решил воспользоваться разностной схемой на тринадцатиточечном шаблоне. Ввел сетку $\omega = \omega _x \times \omega _z$
$\omega _x = \left\{ {x = - a + ih,\,\,i = 0,M} \right\},\,\,M = \frac{{2a}}{h}$ , $\omega _z = \left\{ {z = jh,\,\,j = 0,\,N} \right\},\,N = \frac{{2a}}{h}$

Получил разностную аппроксимацию самого дифференциального уравнения

$$ \dfrac{{20}}{{h^4 }}y_i^j - \dfrac{8}{{h^4 }}\left( {y_{i + 1}^j + y_i^{j + 1} + y_i^{j - 1} } \right) + \dfrac{2}{{h^4 }}\left( {y_{i + 1}^{j + 1} + y_{i - 1}^{j + 1} + y_{i - 1}^{j - 1} + y_{i + 1}^{j - 1} } \right) + \dfrac{1}{{h^4 }}\left( {y_{i + 2}^j + y_i^{j + 2} + y_{i - 2}^j + y_{i - 2}^j } \right) = 0. $$

. Граничные условия аппроксимировал следующим образом:

$$\begin{array}{l} \dfrac{{y_i^0 - 2y_{i - 1}^0 + y_{i - 2}^0 }}{{h^2 }} = - p\left( {x_i } \right),\,\,i = \overline {2,M - 2} , \\ \dfrac{{y_{i + 1}^1 - y_i^1 - y_{i + 1}^0 + y_i^0 }}{{h^2 }} = - q\left( {x_i } \right),\,\,\overline {i = 0,M - 1} . \\ \dfrac{{y_i^N - 2y_{i - 1}^N + y_{i - 2}^N }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_{i + 1}^N - y_i^N - y_{i + 1}^{N - 1} + y_i^{N - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,i = \overline {2,M - 2} , \\ \dfrac{{y_0^{j + 1} - 2y_0^j + y_0^{j - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_1^{j + 1} - y_0^{j + 1} - y_1^j + y_0^j }}{{h^2 }} = 0,\,\,j = \overline {1,N - 1} , \\ \dfrac{{y_M^{j + 1} - 2y_M^j + y_M^{j - 1} }}{{h^2 }} = 0,\,\,\dfrac{{y_M^{j + 1} - y_{M - 1}^{j + 1} - y_M^j + y_{M - 1}^j }}{{h^2 }} = 0,\,\,j = \overline {1,N - 1} . \\ \end{array} $$

Дальше я застрял, поскольку не могу понять, с чего начать свои вычисления. Может я где-то перемудрил или выбрал неудачный численный метод. Подскажите, как все таки производить вычисления по такой схеме? Сижу уже большое количество времени с этой задачи, никак не могу дальше сдвинуться в ее решении.

[Pphantom]

Ну, например, воспользоваться методом установления: выразить $y_i^j$ из разностной аппроксимации и делать итерации, пока результат не перестанет существенно меняться.

[nikitaorel1999]

Еще я пробовал применить для решения задачи метод конечных элементов.. Перечитал кучу литературы, но все равно не понимаю, с чего начать и как например брать базисные функции в таком случае. Может есть какое-нибудь пособие касаемо именно применения МКЭ для плоской задачи теории упругости? Потому что голову себе уже сломал и как сдвинуться, я просто не понимаю..

[Утундрий]

А ТФКП применить не пробовали?

[nikitaorel1999]

Вы знаете, ТФКП даже в голову не приходило применять.. Где об этом можно почитать?
Все таки целью моей служит получение численного решения

[Утундрий]

nikitaorel1999 в сообщении #1482285 писал(а):

Где об этом можно почитать?

Много где. Началась вся эта музыка, вроде бы, с "Некоторые основные задачи математической теории упругости" Мусхелишвили. Я сам с этим только в Лаврентеве-Шабате пересекался и глубоко не лез. Но складывается такое впечатление, что нерешённых проблем в плоской теории упругости осталось мало.

[svv]

Пусть $\varphi(x,z)$ — решение Вашей задачи, тогда
$\tilde\varphi_(x,z)=\varphi(x,z)+Ax+Bz+C$
— тоже. Такие у Вас граничные условия. При стандартной постановке для бигармонического уравнения (на границе задана функция и её нормальная производная) такой неоднозначности не было бы.

Я это к тому, что некоторые численные методы «не любят» неединственности решения — они не знают, к которому из них сойтись и гуляют от одного решения к другому. Либо вообще не работают (какая-нибудь матрица оказывается вырожденной).

-- Пн сен 07, 2020 11:41:30 --

Кстати, Вам, наверное, даны конкретные функции $p(x)$ и $q(x)$ и конкретное значение $a$. Можете их привести?

[nikitaorel1999]

По поводу функций $p(x), q(x)$ скажу завтра, когда пойду к своему преподавателю. Значение $a>0$ , например $a=10$.
В качестве $p(x), q(x)$ планирую использовать простые -- константу, линейную и квадратичную.
Просто я сейчас нахожусь в сомнениях какой все таки численный метод здесь реализовать... С одной стороны разностная схема -- достаточно просто должно реализовываться, но я запутался и не могу понять, как начать счет.
Есть еще МКЭ -- но не понимаю, что выбирать в качестве функций формы и т.п. И нормальное пособие по МКЭ не найду никак.

-- 07.09.2020, 18:39 --

svv в сообщении #1482318 писал(а):

Пусть $\varphi(x,z)$ — решение Вашей задачи, тогда
$\tilde\varphi_(x,z)=\varphi(x,z)+Ax+Bz+C$
— тоже. Такие у Вас граничные условия. При стандартной постановке для бигармонического уравнения (на границе задана функция и её нормальная производная) такой неоднозначности не было бы.

Я это к тому, что некоторые численные методы «не любят» неединственности решения — они не знают, к которому из них сойтись и гуляют от одного решения к другому. Либо вообще не работают (какая-нибудь матрица оказывается вырожденной).

-- Пн сен 07, 2020 11:41:30 --

Кстати, Вам, наверное, даны конкретные функции $p(x)$ и $q(x)$ и конкретное значение $a$. Можете их привести?

Может действительно неверно поставлены ГУ. Завтра уточню.

[nikitaorel1999]

Решили с преподавателем убрать условие $ \left. {\varphi _{xz} } \right|_{z = 0} = - q\left( x \right) $ (сделать его нулевым). В качестве функций $p(x)$ взяли константу. Область все таки прямоугольная
$ \left[ { - a,a} \right] \times \left[ {0,b} \right] $, при этом $b$ достаточно большое.

[svv]

При таких граничных условиях беспокоит следующее.
Производная $\varphi _{x}$ должна быть непрерывна (в т.ч. на сторонах и в вершинах). Из условий
$\begin{array}{lc}\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = - a} = 0,&0 \leqslant z \leqslant b\\\left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = b} = 0,&-a \leqslant x \leqslant a\\\left. {\varphi _{xz} } \right|_{x = a} = 0,&0 \leqslant z \leqslant b\end{array}$
следует, что вдоль этих трёх сторон $\varphi _{x}$ постоянна. И потому постоянна на всей букве П, образованной этими тремя сторонами. Поэтому
$\left. {\varphi _{x} } \right|_{x = - a, z=0} = \left. {\varphi _{x} } \right|_{x = + a, z=0}$
Но это совместимо с условием
$\left. {\varphi _{xx} } \right|_{z = 0} = -p=\operatorname{const},-a \leqslant x \leqslant a$
лишь в том случае, если константа $p$ равна нулю. Если Вы заложите в задачу иное значение $p$, условия будут противоречивы.

По поводу неоднозначности, о которой я говорил раньше, тоже надо прояснить.

Понимаете, прежде чем решать задачу, надо её корректно поставить. Иначе при применении численных методов одни условия будут бороться с другими, и ничего хорошего не получится. Все эти вещи — это палки в колёсах.