Система 2-х уравнений 4 степени

[Andrey A]

mecak17 в сообщении #1482175 писал(а):

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = Y^4$ и $x_4^2 + x_2^5 + x_6^2 + x_7^2 = Y^4$

То есть наладили обратную связь, вернувшись к стартовому посту ) Ладно, верю на слово. Конечно, основания квадратов в левой части тождества $(2AD)^2+(2BD)^2+(2CD)^2+(A^2+B^2+C^2-D^2)^2=(A^2+B^2+C^2+D^2)^2$ не симметричны. Можно из него смастерить другое тождество для $4$-й степени, возможно оно будет отвечать Вашему примеру, но найдется другой контрпример и т.д. Заниматься этим лень. Интересно становится когда есть позитивное утверждение, к чему Вас и призываю.

[mecak17]

Andrey A в сообщении #1482182 писал(а):

То есть наладили обратную связь, вернувшись к стартовому посту ) Ладно, верю на слово.

Не наладил. Вроде, возможность наладить обратную связь противоречит существованию контрпримера, который я привёл, разве нет? И чему это Вы поверили?

[Andrey A]

Поверил, что противоречит.

mecak17 в сообщении #1482190 писал(а):

Не наладил.

Так наладьте. Ваше-то решение где?

[mecak17]

Andrey A в сообщении #1482205 писал(а):

Так наладьте. Ваше-то решение где?

Когда Вы спросили, у меня его не было.

Возьмём тождество четырёх квадратов $(2AD)^2+(2BD)^2+(2CD)^2+(A^2+B^2+C^2-D^2)^2=(A^2+B^2+C^2+D^2)^2$, можно сделать так, чтобы справа осталась четвёртая степень, оставив обратную связь той же: домножим всё на $(A^2+B^2+C^2+D^2)^2$.

Короче,

(Оффтоп)

$Y = (A^2 + B^2 + C^2+D^2)P = (E^2 + F^2 + G^2)Q x_1 = (E^2 + F^2 + G^2)(2EG)Q^2 x_2 = (E^2 + F^2 + G^2)(2FG)Q^2 x_3 = (E^2 + F^2 + G^2)(E^2 + F^2 - G^2)Q^2 x_4 = (A^2 + B^2 + C^2+D^2)(2AD)P^2 x_5 = (A^2 + B^2 + C^2+D^2)(2BD)P^2 x_6 = (A^2 + B^2 + C^2+D^2)(2CD)P^2 x_7 = (A^2 + B^2 + C^2+D^2)(A^2 + B^2 + C^2 - D^2)P^2$

Обратные связи почти старые: $\frac{E}{G} = \frac{x_1}{Y^2 - x_3}, \dots$

-- 06.09.2020, 13:46 --

Это эквивалентно взятию $Y = 1$ и решению двух полученных уравнений в рациональных числах.

[Andrey A]

mecak17 в сообщении #1482216 писал(а):

... домножим всё на $(A^2+B^2+C^2+D^2)^2$

То и было, но у Вас по-другому. Отлично. Можете указать параметры $A...G$ и коэффициенты пропорциональности для трех вышеприведенных примеров, включая свой?

[mecak17]

Каких трёх? Я вижу два примера. И, конечно, могу.

-- 06.09.2020, 13:58 --

Мой пример: $(E, F, G) = (1, 1, 4); (A, B, C, D) = (2, 4, 5, 3); (P, Q) = (\frac{1}{18}, \frac{1}{2})$

Ой, остальные уже сложно :)

[Andrey A]

Так чего ж сложного, коли общее?

[mecak17]

Считать сложно.

scwec в сообщении #1482067 писал(а):

$11^4=104^2+39^2+48^2=108^2+48^2+12^2+23^2$

$(E, F, G) = (104, 39, 73); (A, B, C, D) = (54, 24, 6, 49); (P, Q) = (\frac{1}{539}, \frac{1}{1606})$

[Andrey A]

mecak17
Я глубоко не вникал, но какая разница? Численно сходится. Вы бы сформулировали решение пообстоятельней, включая обратную задачу. С примером. Пусть scwec ставит зачет.

P.S. Фишка в том, что разложение $Y$ ставится в зависимость от образовавшихся коэффициентов. Ну и правильно. Условие не требует, чтобы оно значилось аргументом.

[scwec]

Поскольку условие задачи не предусматривало нахождения общего решения в целых числах, а
вполне приличные параметрические решения уже приведены, хочу предложить ещё одно уравнение 4 степени.
Найдите 2-параметрическое решение (частное) в целых числах, отличных от нуля, уравнения
$2x^4+2y^4+2z^4=w^2$

[lel0lel]

$m+n,m+7m n+n,2m+7m n+2n$

[mecak17]

$2x^4 + 2y^4 + 2(x+y)^4 = (2x^2 + 2y^2 + 2xy)^2$

[scwec]

Оба ответа верны и являются следствием тождества
$(x_1-x_2)^4+(x_2-x_3)^4+(x_3-x_1)^4=\frac{1}{2}((x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2)^2$, которое находит применение при интегрировании уравнений движения механических систем определенного типа (А.М.Переломов "Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли).
Приведенные ответы являются, как и запрашивалось, частными. Например, $2(7^4+7^4+12^4)=226^2$ не подпадает под эти ответы.

[scwec]

mecak17 в сообщении #1482292 писал(а):

$2x^4 + 2y^4 + 2(x+y)^4 = (2x^2 + 2y^2 + 2xy)^2$

Положим в этом равенстве $x=p^2-q^2,y=2pq+q^2$,
тогда $(p^2-q^2)^4+(2pq+q^2)^4+(2pq+p^2)^4=2(p^2+pq+q^2)^4$
и получена ещё 2-параметризация уравнения $x^4+y^4+z^4=2w^4$.

Предлагаю теперь найти 2-параметризацию в целых числах уравнения $x^4+y^4+z^4=w^2$

[lel0lel]

Если $a^2+b^2=c^2$, тогда $(a b)^4 + (a c)^4 + (b c)^4 = (a^4+a^2 b^2+b^4)^2$
E. Fauquembergue