сигма-конечная мера

[ihq.pl]

Вечер добрый. Не очень понятен смысл куска текста из учебника Колмогорова-Фомина:

Пусть $\sigma$-адитивная мера $m$ задана на некотором полукольце $\mathfrak{S}_m$ подмножеств множества $X$. Мы скажем, что эта мера $\sigma$-конечна, если всё $X$ может быть представлено, как сумма счетного числа множеств из $\mathfrak{S}_m$ (но не как сумма конечного числа множеств из $\mathfrak{S}_m$). Простой пример не $\sigma$-конечной меры можно получить следующим образом. Пусть на отрезке $[0,1]$ задана некоторая функция $f(x)$. Для каждого конечного подмножества $A=\{x_1,...,x_n\}$ отрезка положим $\mu(A)=\sum f(x_i)$. Если множество точек $x$, в которых $f(x)\ne 0$ несчетно, то такая мера на $[0,1]$ не будет $\sigma$-конечной.

Вопрос. Можно ли переформулировать сказанное выше так: мы скажем, что мера $m$ $\sigma$-конечна, если она индуцирует полукольцо $\mathfrak{S}_m$ $m$-измеримых подмножеств $X$, и всё $X$ может быть представлено, как сумма счетного числа множеств из $\mathfrak{S}_m$ (но не как сумма конечного числа множеств из $\mathfrak{S}_m$)?

[vpb]

"Мера индуцирует полукольцо" --- такого нет понятия. Непонятно, что Вы тут в виду имеете.

[ihq.pl]

vpb в сообщении #1482138 писал(а):

"Мера индуцирует полукольцо" --- такого нет понятия. Непонятно, что Вы тут в виду имеете.

Самому не ясно. Чего-то я не понял, хотя до этого места в учебнике всё казалось понятным.

В примере с отрезком все конечные множества $A=\{x_1,...,x_n\}$ образуют полукольцо. Не знаю, если честно, можно ли отрезок представить в виде суммы счетного числа множеств этого полукольца, но в любом случае непонятно, при чем тут мера $m(A)=\sum f(x_i)$? Ведь вид функции $f$ определяет лишь значения меры на множествах полукольца, а само полукольцо при этом не меняется.

[vpb]

А, понятно. Да, в этом определении главное --- полукольцо, а мера присутствует как-то косвенно. Это вы правильно заметили. Но всё равно, "мера индуцирует полукольцо" --- так не говорят.

И отрезок, конечно, нельзя представить как объединение счетного числа конечных множеств.

[ihq.pl]

vpb
Спасибо)
Получается, что мера здесь вообще ни при чем. Другими словами, $\sigma$-конечность меры означает просто то, что $X$ невозможно представить как сумму конечного числа множеств полукольца, на котором она задана. Мера также не будет $\sigma$-конечной, если $X$ не представимо в виде суммы счетного числа множеств полукольца. Смутил пример, вернее, вот эта его часть: Если множество точек $x$, в которых $f(x)\ne 0$ несчетно, то такая мера на $[0,1]$ не будет $\sigma$-конечной. Потому что и в случае счетного множества ненулей мера тоже не будет $\sigma$-конечной.