Тензор перехода в кинематической паре

[svv]

Alm99 в сообщении #1482137 писал(а):

тензор перехода

Тут, наверное, надо договориться с терминологией. Есть матрица перехода, и есть метрический тензор. Матрица перехода (тензором она не является) связывает две системы координат. Она составляется из частных производных координат из одного набора по координатам из другого набора.
Метрический тензор (как считается в высокой теории) существует сам по себе и от выбора системы координат не зависит, но от этого выбора зависят его компоненты. И вот они-то относятся к одной системе координат.

Таким образом, метрический тензор в цилиндрической системе координат будет иметь один и тот же вид, независимо от того, получен он преобразованием метрического тензора прямоугольной или косоугольной системы координат.

Формулу преобразования компонент
$g'_{\ell m}=\dfrac{\partial x^i}{\partial x'^\ell}\dfrac{\partial x^k}{\partial x'^m}g_{ik}$
можно записать в матричной форме:
$G'=P^TGP$,
где $P$ — матрица перехода от нештрихованного локального базиса к штрихованному (не наоборот).

Эту формулу можно применять несколько раз, если систем координат несколько. При последовательной замене координат матрицы перехода перемножаются, что позволяет сократить вычисления.

[Alm99]

svv
Я просто работу свою скинул, чтобы Вы увидели процесс получения метрического тензора для преобразования компонент, в зависимости от координат, которые я выбираю, просто я ещё описываю тензор поворота вокруг каждой из осей, и тензор отклонений, и назвал это тензором перехода, на само деле, предполагаю,что надо обозначить, ввести другой термин,а метрику из косоугольных декартовых я преобразовал к метрике в криволинейных, через матрицу Якоби.

[svv]

Alm99 в сообщении #1482144 писал(а):

метрику из косоугольных декартовых я преобразовал к метрике в криволинейных, через матрицу Якоби

Вот это совершенно понятно.

Я предполагаю, что в формулы преобразования координат могут, помимо самих координат, входить параметры. Эти параметры зависят от взаимного расположения частей Вашей системы (каждая часть — твёрдое тело, с которым можно связать систему координат). Например, пусть с одной частью связаны декартовы координаты $(x^1,x^2,x^3)$, а с другой $(x'^1,x'^2,x'^3)$. Если вторая часть может смещаться поступательно относительно первой, формулы перехода могут быть такими:
$x'^1=x^1+\lambda$
$x'^2=x^2$
$x'^3=x^3$
Если вторая часть вращается относительно первой, формулы могут быть такими:
$x'^1=x^1\cos\varphi-x^2\sin\varphi$
$x'^2=x^1\sin\varphi+x^2\cos\varphi$
$x'^3=x^3$
В этих примерах $\lambda$ и $\varphi$ — параметры, определяющие сдвиг и угол поворота второй части относительно первой.

Обобщёнными координатами в смысле лагранжевой механики, скорее, можно назвать параметры, подобные $\lambda,\varphi$, а не координаты $(x^1,x^2,x^3)$. Потому что именно эти параметры определяют конфигурацию системы. Координаты же (декартовы, цилиндрические или другие) — просто размечают пространство.

[Alm99]

svv
Я вашу мысль понял, постараюсь тогда переписать свои выкладки более правильно, ну и с учётом выше сказанного, постараюсь получить аналогичный "тензор перехода"(который состоит метрического тензора, тензора поворота и тензора отклонений), просто автором диссертации, матрицы которого я пытаюсь описать с помощью тензоров, применяется концепция того, что везде используется параллельный перенос, а вектор смещения я описал как линейное преобразование, знать придётся поискать другую стратегию, буду думать!

Вам спасибо огромное, теперь есть направление, куда мыслить, потому что долго топчусь на месте, а писать преподу, когда нет результатов, боязно... Тему конечно я выбрал, переоценил возможности свои, несмотря на желание огромное заниматься именно ей... Надеюсь, получиться добиться результата адекватного...

[svv]

Пока, как мне кажется, всё вписывается в такую схему (и терминологию). Станок можно разбить на отдельные части. Части могут определённым образом двигаться друг относительно друга, но каждая отдельная часть является твёрдым телом, и с ней можно связать одну или несколько систем координат.

Формулы, выражающие координаты одной части через координаты другой части, являются первичными (в том смысле, что всё остальное из них выводится). Если системы координат относятся к разным частям, то формулы преобразования включают один или несколько параметров, определяющих взаимное расположение частей.

Из частных производных, скажем, координат $(x'^i)$ по координатам $(x^i)$, составляется матрица Якоби. В случае декартовых координат сама матрица не зависит от координат. В общем случае — зависит.

Матрица Якоби позволяет пересчитать в координатах $(x'^i)$ компоненты метрического тензора, известные в координатах $(x^i)$. Сами эти компоненты в случае декартовых координат не зависят от координат. В общем случае — зависят.

Для лучшего взаимопонимания предлагаю придерживаться этой терминологии. Честно говоря, я пока не вижу в Вашей задаче других объектов, кроме метрического тензора, которые можно было бы назвать тензором (тензор — это нечто большее, чем просто матрица).

[Alm99]

svv

Я согласен, что тензор это прежде всего закон преобразования величин,причем линейное преобразование, и тензор ошибок это все же неправильная интерпретация, тензор поворота я вводил, не помню сейчас, какая книга была в этот момент, но там через взаимный базис он выводился...

-- 06.09.2020, 00:16 --

Alm99 в сообщении #1482152 писал(а):

svv

Я согласен, что тензор это прежде всего закон преобразования величин,причем линейное преобразование, и тензор ошибок это все же неправильная интерпретация, тензор поворота я вводил, не помню сейчас, какая книга была в этот момент, но там через взаимный базис он выводился...

Я бы даже сказал объект преобразования, в книге Мак Конела дано во всяком случае такое определение

[svv]

Ok.

[Alm99]

svv

Цитата:

. В случае декартовых координат сама матрица не зависит от координат. В общем случае — зависит.

А в случае цилиндрической системы координат? Я не совсем понял фразу, зависимости матрицы от координат...

[svv]

Давайте для простоты рассмотрим переход между различными системами координат на плоскости, а не в пространстве.

Пусть $(x,y)$ — прямоугольные декартовы координаты, $(\xi,\eta)$ — косоугольные декартовы координаты, причём формулы перехода выглядят так:
$x=5\xi-\eta$
$y=0.3\xi+7\eta$
Составим матрицу Якоби:
$P=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial \xi}&\frac{\partial x}{\partial\eta}\\\frac{\partial y}{\partial\xi}&\frac{\partial y}{\partial\eta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&-1\\0.3&7\end{bmatrix}$
Как видите, в вычисленной матрице только числа, т.е. константы.

Теперь пусть $(x,y)$ — декартовы координаты, $(\rho,\varphi)$ — полярные, и формулы перехода выглядят так:
$x=\rho\cos\varphi$
$y=\rho\sin\varphi$
Составим матрицу Якоби:
$P=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial \rho}&\frac{\partial x}{\partial\varphi}\\\frac{\partial y}{\partial\rho}&\frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\rho\sin\varphi\\\sin\varphi&\rho\cos\varphi\end{bmatrix}$
Теперь элементы полученной матрицы — не константы, они зависят от координат $\rho$ и $\varphi$ (иначе говоря, матрица Якоби зависит от точки, к которой относится). Например, в точке с полярными координатами $\rho=4$ и $\varphi=\frac \pi 6$ получим:
$P=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt 3}2&-2\\\frac 1 2&2{\sqrt 3}\end{bmatrix}$
В другой же точке плоскости получим другие значения.

И та же история с компонентами метрического тензора.

[Alm99]

svv
Вопросов нет! Благодарю!

-- 06.09.2020, 01:03 --

Alm99 в сообщении #1482164 писал(а):

svv
Вопросов нет! Благодарю!

Теперь понятно, что Вы имели ввиду

[Alm99]

svv
Простите меня за глупые вопросы, уважаемый svv, но вот какой момент: допусти я имею метрический тензор в цилиндрических координатах, тогда при переходе к декартовым, метрика будет иметь вид:

$g'_{lm}=$$\begin{pmatrix} \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} &0 & 0 \\ 0 & \frac{x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & 0 \\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}$

или я не прав? Просто в maple не могу проверить, он не может создать мне такой объект как метрический тензор, и когда я сам его определяю, то результат преобразования с помощью встроенной функции приводит к тому, что вместо $\rho^{2}$, он записывает $x^{2}$, а сам тензор таким же остается.

И вот я подумал еще о чем, понимаю, что цилиндрические координаты сами по себе уже ортогональны, косоугольными они вряд ли могут быть (хотя я в этом не уверен), для самой планшайбы определены цилиндрические координаты, с соответствующей метрикой, а для для корпуса планшайбы она задается как метрика в косоугольных, вот, и можно ли преобразовав метрику при переходе из цилиндрических координат в декартовы, задать еще одно преобразование или другим способом доказать, что данная метрика уже есть метрика в декартовых косоугольных координатах, и что она может быть задана как метрический тензор, с внедиагональными компонентами, описанные через косинусы, как в самом первом сообщении темы?

[svv]

Попробуйте найти ошибку из соображений размерности: декартовы координаты $x$ и $y$ имеют одну и ту же размерность (длины, $L$). Все слагаемые в сумме должны иметь одну и ту же размерность. Но в числителях это нарушается. Одни слагаемые имеют размерность $L^4$, а другие $L^2$. Это значит, что где-то была допущена ошибка.

Попробуйте также найти пропущенный множитель — двойку.

Когда всё будет исправлено, Вас ожидает сюрприз.

[Alm99]

svv
Нет, я слишком плохой студент, надо было внимательно посчитать.... Тупанул

-- 08.09.2020, 00:31 --

svv
Тогда это тупик, потому что цилиндрические координаты ортогональны

[svv]

Допустим, метрический тензор в цилиндрических координатах известен (например, отсюда):
$(g_{ik})=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
Тогда в декартовых его можно получить по общей формуле (я буду штрихом помечать величины, относящиеся к цилиндрической системе):
$g_{\ell m}=\dfrac{\partial x'^i}{\partial x^\ell}\dfrac{\partial x'^k}{\partial x^m}g'_{ik}$
Найдём для примера $g_{xx}$.
$g_{xx}=\dfrac{\partial \rho}{\partial x}\dfrac{\partial \rho}{\partial x}g'_{\rho\rho}+\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}g'_{\varphi\varphi}+\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial z}{\partial x}g'_{zz}=\left(\dfrac{\partial \rho}{\partial x}\right)^2\cdot 1+\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^2\rho^2$

Имеем $\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \;\varphi=\arctg\dfrac y x$.
Продолжите, пожалуйста.

[Alm99]

svv
Так я так и делал, Вы объяснили, что я неправильно посчитал