Квадрат матрицы состоит из единиц

[vatrushka]

Задача:
При каких $N$ существует матрица порядка $N$, состоящая из $0$ и $1$, такая что $N^2$ состоит из одних единиц?
Что я пытался сделать.
Ясно что $det A^2 = 0$, так как все ее строки одинаковые, значит и $det A = 0$.
Еще я показал, что $rg A <= \frac{n + 1}{2}$
Так же понятно что в каждой строке и столбце минимум одна единица
Получается что то вроде у любой строки и столбца единица и там и там есть ровно в одной позиции.(то-есть например у $i$й строки и $j$го столбца есть всего одно такое $k$, что $a_{i,k} = a_{k, j} = 1$).
На этом мои идеи кончились
Есть у кого нибудь идеи?
Это задача - из вступительной в шад https://efiminem.github.io/supershad/08-06-2014/ за номером 8, но найти решение в интернете я нигде не смог.
Спасибо

[vatrushka]

Я имел в виду при каких $N$ существует матрица $A$ размера $N$, что $A^2$ состоит из единиц, немного путано сформулировал

[slavav]

vatrushka в сообщении #1481762 писал(а):

Получается что то вроде у любой строки и столбца единица и там и там есть ровно в одной позиции.

Тут ошибка. Начните с $N=2$.

[vatrushka]

Эм, что
Если у нас в ячейке матрицы получаемой при перемножении двух матриц дают попарное произведение строк на столбцы, а исходная матрица состоит из 0 и 1.
Получается что сумма попарных произведений равна единице
Значит только в одном попарном произведении только в одном месте выходит единица
Значит я прав

[slavav]

Я пропустил условие что матрица $A$ только из нулей и единиц. Да, вы правы.

-- 03.09.2020, 11:00 --

Можно попробовать рассуждать про операторные нормы $A$ и $A^2$.

[slavav]

Для $N = 2, N = 3$ решений нет, для $N = 1, N = 4$ - есть.

[vatrushka]

К слову, не подскажете задачников с задачами на линейную алгебру
Сложными
Типо по сложности как эта задача
В задаче кострикина примерно таких задач нету (ну или я плохо искал)
Есть Прасолов, но там больше теория.

[DeBill]

vatrushka
1. Какая связь между спектрами матрицы и ее квадрата? Какой спектр у $A^2$? Может ли у целочисленной матрицы ровно одно собственное значение быть иррациональным?
2. Пример slavav: можно ли его обобщить?

[vatrushka]

Благодарю DeBill, я не знал этой области линейной алгебры, но теперь узнал что если у матрицы $A$ - собственное число $\lambda$, то у
$A^2$ - собственное число $\lambda^2$.
Получается между ними взаимно однозначное соответствие будет (каждому с.ч. $\lambda_i$ будет соответствовать $\lambda_i^2$ - с.ч. $A^2$) - если я не путаю ничего.
В $A^2$ - все с.ч. - нули, значит как я понимаю и в $A$ - все с.ч. - нули, так?

[mihaild]

vatrushka в сообщении #1482101 писал(а):

В $A^2$ - все с.ч. - нули

Это не так.

[vatrushka]

Да, там не все нули, это я немного поторопился
Там хотя бы один ноль есть

-- 05.09.2020, 16:57 --

Немного посидев вольфраме я начал думать что там собственные числа $n$ и остальные нули

Получается, что это возможно если $n$ - точный квадрат?)

Получается, если ответ на вопрос:
"Может ли у целочисленной матрицы ровно одно собственное значение быть иррациональным?" - ответ - нет
то получается что это возможно только при $n$ - точном квадрате.

Хотя на этот вопрос ответ очевидно нет, ибо если составить характеристический многочлен, то получится что сумма корней рациональна, то и ровно один иррациональным быть не может

[DeBill]

vatrushka в сообщении #1482103 писал(а):

Немного посидев вольфраме

Для ШАДа - надо без вольфрама, ручками...

vatrushka в сообщении #1482103 писал(а):

то получается что это возможно только при $n$ - точном квадрате.

Да. Но надо еще и пример в этом случае соорудить!

[svv]

vatrushka в сообщении #1482103 писал(а):

Немного посидев вольфраме я начал думать что там собственные числа $n$ и остальные нули

Пусть $a$ — вектор из всех единиц, тогда $A^2a=na$ (проверьте). Если вектор $v\perp a$, то $A^2v=0$ (проверьте).
Как тогда можно назвать векторы $a$ и $v$? Какой вывод можно сделать о собственных значениях $A^2$?
Размерность подпространства векторов, параллельных $a$, равна $1$, а перпендикулярных $a$ равна $n-1$. Что теперь можно сказать о кратности с.з.?

[vatrushka]

DeBill в сообщении #1482115 писал(а):

vatrushka в сообщении #1482103 писал(а):

Немного посидев вольфраме

Для ШАДа - надо без вольфрама, ручками...

vatrushka в сообщении #1482103 писал(а):

то получается что это возможно только при $n$ - точном квадрате.

Да. Но надо еще и пример в этом случае соорудить!

Да, вы правы, надо думать как соорудить общий пример, но хотя бы ход мыслей мне ясен, спасибо !

[slavav]

Несколько примеров удалось сделать для $N=4$ руками. У одного из примеров оказалась простая регулярная структура подходящая для любого точного квадрата.