Числовые последовательности, элементы которых не различимы

[cubaca]

Доброе утро. На первых курсах помню задания " найти общий член последовательности". Есть ли такие, элементы которого неотличимы до определенного, довольно "дальнего" элемента? Примеры $2,4$ можно задать $2^n$ и $2\cdot n$, где $ n=1,2$

[mihaild]

Если я правильно понимаю, то вопрос в том, бывают ли формулы, задающие последовательность, такие, что первые $n$ членов последовательности совпадают, а $n+1$-е различаются. Да, бывают, для любого $n$.
Например $f(k)$ и $f(k) + g(k) \cdot \prod_{i=0}^n (k - n)$ для любых $f$ и $g$ (при условии что $g$ принимает ненулевое значение для какого-то $k > n$).

[novichok2018]

сколько угодно. Возьмите набор точек и проведите через них два разных полинома.

[cubaca]

mihaild
novichok2018

Спасибо! Это именно то.
Получается, что любую последовательность чисел можно записать более чем одной формулой?

[Mihr]

Любую конечную - да.

Впрочем, если подходить формально, то и любую бесконечную - тоже. Например, можно к любой заданной последовательности прибавить последовательность с общим членом $k\sin\pi n$, где $n$ - номер элемента последовательности, $k$ - любое действительное число

[cubaca]

Mihr
Спасибо. А если для бесконечной поставить условие в отсутствии одинаковых любых слагаемых. Чтобы нельзя было прибавлять нуль?

[Mihr]

cubaca, я как-то плохо понимаю вопрос. Слагаемых в каком выражении?
Если Вы спрашиваете, можно ли задать бесконечную последовательность, состоящую из попарно различных элементов, двумя разными формулами, не содержащими слагаемых, обращающихся в ноль, то ответ: иногда - да. Например, последовательность с общим членом $(-1)^n n$ и последовательность с общим членом $n \cos\pi n$ - это одна и та же последовательность.

[cubaca]

Mihr
Спасибо! Пример, который Вы привели полностью отвечает на мой начальный вопрос. Я не предполагал полного совпадения! Но интересно было, сколько элементов могут быть одинаковыми, а начиная с $a_{n+1} $ уже различаться?

[Mihr]

cubaca в сообщении #1481440 писал(а):

Но интересно было, сколько элементов могут быть одинаковыми, а начиная с $a_{n+1} $ уже различаться?

Вам ведь уже ответили: сколько угодно.

[svv]

cubaca
Есть такой ресурс — OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей).
Сейчас эта энциклопедия насчитывает больше 300000 последовательностей. Конечно, не всех возможных, а «осмысленных», или «интересных», возникающих в каких-то задачах. Для последовательности приводятся первые элементы, формулировка задач, в которых последовательность встречается, что именно она описывает. Формула (явная, рекуррентная). Список литературы и т.д. На сайте есть поиск по последовательным элементам.

Так вот, заходим на сайт и набираем в окошке поиска $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Поиск выдаёт 2902 результата! Добавляем числа с 10 по 19. Результатов стало поменьше (423), но, тем не менее. Интересно почитать формулировки (бывает, что они понятны только специалистам), а также найти то место, начиная с которого данная последовательность отличается от натурального ряда. Я думаю, Вы всё поняли и я обеспечил Вам развлечение на долгое время.