Равная мера угла c, a и c, b

[Усталый]

Пусть есть прямые $ a $, $ b $, $ c $, причём $ a \perp b $, а $ c $ составляет с ними углы равные, например, $ \frac{\pi}{3} $.

Как можно вычислить угол, который будет составлять $ c $ с биссектрисой угла, создаваемого прямыми $ a $ и $ b $?

[Александр Т.]

Усталый писал(а):

Пусть есть прямые $ a $, $ b $, $ c $, причём $ a \perp b $, а $ c $ составляет с ними углы равные, например, $ \frac{\pi}{3} $.

Как можно вычислить угол, который будет составлять $ c $ с биссектрисой угла, создаваемого прямыми $ a $ и $ b $?

Направить оси $x$ и $y$ вдоль $a$ и $b$ и использовать то, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

$$ \dfrac{\pi}{2} - \arccos\sqrt{1-2\cos^2\dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{2} - \arccos\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}. $$

(Если углы - разные, то задачка будет несколько сложнее.)

[Профессор Снэйп]

Усталый писал(а):

Пусть есть прямые $ a $, $ b $, $ c $, причём $ a \perp b $, а $ c $ составляет с ними углы равные, например, $ \frac{\pi}{3} $.

Мне кажется, что на плоскости это невозможно. Если прямые $a$ и $c$ пересекаются под углом $\pi/3$, а прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, то прямые $b$ и $c$ будут пересекаться под углом $\pi/6$.

В $\mathbb{R}^n$ ситуация, наверное, возможна (если под углом между скрещивающимися прямыми понимать угол между векторами, параллельными этим прямым, лежащий в полуинтервале $[0,\pi)$). Но тогда надо уточнять, чему равно $n$ (или доказывать, что от него ничего не зависит).

[Усталый]

Цитата:

Мне кажется, что на плоскости это невозможно

Прямая $ c $ и не лежит в той же плоскости, что и $ a $, $ b $, конечно. Мне кажется, что интуитивно понятно, что мера этого угла меняется от $ \frac{\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{2} $ (т.е. соотвественно для случая, когда $ c $ в той же плоскости, и когда $ c $ перпендикулярно обоим прямым).

Александр Т., по-моему, Вы правы. Спасибо!

[Александр Т.]

Профессор Снэйп писал(а):

Усталый писал(а):

Пусть есть прямые $ a $, $ b $, $ c $, причём $ a \perp b $, а $ c $ составляет с ними углы равные, например, $ \frac{\pi}{3} $.

Мне кажется, что на плоскости это невозможно.

Да, конечно (а в более общем случае, естественно, чтобы это было возможно, сумма углов, которые $c$ составляет с $a$ и $b$ должна быть равна $\pi/2$).

Профессор Снэйп писал(а):

В $\mathbb{R}^n$ ситуация, наверное, возможна... Но тогда надо уточнять, чему равно $n$...

Я привел решение для $\mathbb{R}^3$.

Профессор Снэйп писал(а):

(или доказывать, что от него ничего не зависит).

Для $n>3$ искомый угол будет неопределенным. Для его однозначного определения нужно задать еще $(n-3)$ угла, которые определяют ориентацию прямой $c$ (например, углы, которые она составляет с осями $x_4,\dots,x_n$ ($x_1=x=a$, $x_2=y=b$, $x_3=z$, $z\perp{x}$, $z\perp{y}$)).

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

В $\mathbb{R}^n$ ситуация, наверное, возможна (если под углом между скрещивающимися прямыми понимать угол между векторами, параллельными этим прямым, лежащий в полуинтервале $[0,\pi)$). Но тогда надо уточнять, чему равно $n$ (или доказывать, что от него ничего не зависит).

Три прямые в $\mathbb{R}^n$, проходящие через одну точку и не лежащие в одной двумерной плоскости, определяют трёхмерное линейное многообразие. Все построения происходят в нём, поэтому можно считать $n=3$.

[ewert]

Пусть $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$ -- направляющие векторы этих прямых, имеющие единичную длину. По замыслу известны $\cos\alpha\equiv(\vec c,\vec a)$ и $\cos\beta\equiv(\vec c,\vec b)$. Тогда для угла с биссектрисой будет $\cos\gamma\equiv(\vec c,{\vec a+\vec b\over\sqrt2})=\dots$ (ну или $\vec a-\vec b$) ...