Непрерывность резольвенты в норме графика

[demolishka]

Пусть $A \colon \mathcal{D}(A) \subset \mathbb{E} \to \mathbb{E}$ есть замкнутый не обязательно ограниченный оператор в банаховом пространстве $\mathbb{E}$. Верно ли, что отображение $\varrho(A) \ni p \mapsto (A-pI)^{-1} \in \mathcal{L}(\mathbb{E};\mathcal{D}(A))$ непрерывно? Здесь $\varrho(A)$ обозначает резольвентное множество, а $\mathcal{D}(A)$ снабжено нормой графика.

На самом деле мне нужна ограниченность норм в $\mathcal{L}(\mathbb{E};\mathcal{D}(A))$ равномерно по $p$ из компактов и это я умею доказывать, используя непрерывность $\varrho(A) \ni p \mapsto (A-pI)^{-1} \in \mathcal{L}(\mathbb{E})$ и принцип равномерной ограниченности. Стало интересно, верен ли более общий факт?

[g______d]

Пусть $\Gamma_p=(A-pI)^{-1}$, и $p,p_0$ принадлежат резольвентному множеству.

Тогда $\Gamma_{p}-\Gamma_{p_0}=(p-p_0)\Gamma_p\Gamma_{p_0}$ (резольвентное тождество).

Отсюда $\Gamma_p(1-(p-p_0)\Gamma_{p_0})=\Gamma_{p_0}$.

При малых $|p-p_0|$ можно обратить скобку в левой части:

$$ \Gamma_p=\Gamma_{p_0}(I-(p-p_0)\Gamma_{p_0})^{-1}. $$

После этого в правой части воспользоваться ограниченностью $\Gamma_{p_0}$ и разложить в ряд Неймана.

Я не проверял, насколько все выкладки корректны по норме графика, там надо немного аккуратнее, чем с обычной операторной нормой, но думаю, что Вы разберётесь.

[demolishka]

Если непрерывность в норме $\mathcal{L}(\mathbb{E})$ предполагать известной (ряд Неймана и аналитичность получается из резольвентного тождества), то все следует из $A(A-pI)^{-1} = p (A-pI)^{-1} + I$. Спасибо.