Непрерывность функции

[Stensen]

Доброго всем здравия. Уважаемые, поправьте если не прав. Даны функции: $ f(x) , g(x) $

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l} (x-1)\sin \frac{1}{x-1}, \, if: \, x \ne 1 \\ 0, \quad\, \quad\, \quad\, if: \, x=1 \\ \end{array} \right.$$

$$ g(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{ \sin x}{^3\sqrt{x}} + \frac{x+1}{x^2-1}, \, if: \, x \ne 1 \\ \sin(1), \quad\, \quad\, if: \, x=1 \\ \end{array} \right.$$

Определить, какая из представленных ниже функций разрывная в $x=1$?

1) $ f(x) \cdot \sin (x)$
2) $g(x)-\cos (x)$
3) $(x^2-1) \cdot f(x)$
4) $(x-1)^2 \cdot g(x)$

Т.к. $ \forall \varepsilon>0 , \left\lvert f(x) \right\rvert = \left\lvert(x-1)\sin \frac{1}{x-1} \right\rvert \leqslant \left\lvert x-1 \right\rvert < \varepsilon, \, if: \left\lvert x-1 \right\rvert < \delta = \varepsilon $, то $f(x)$ - непрерывна в $x=1$. Соответственно $ f(x) \sin (x)$ и $(x^2-1) f(x)$ тоже непрерывны, как произведение непрерывных функций. Также непрерывна $(x-1)^2 \cdot g(x)=\frac{\sin x \cdot (x-1)^2}{^3\sqrt{x}} + (x-1)$ в $x=1$.

$ g(x)=\frac{\sin x}{^3\sqrt{x}} + \frac{1}{x-1}$ имеет разрыв 2-го рода в $x=1 $ , поэтому разрывна в $x=1$ только $g(x)-\cos (x)$. Все ли верно?

[svv]

Да, всё верно.

[Stensen]

Предельно благодарен

[svv]

Stensen в сообщении #1480838 писал(а):

Т.к. $ \forall \varepsilon>0 , \left\lvert f(x) \right\rvert = \left\lvert(x-1)\sin \frac{1}{x-1} \right\rvert \leqslant \left\lvert x-1 \right\rvert < \varepsilon, \, if: \left\lvert x-1 \right\rvert < \delta = \varepsilon $, то $f(x)$ - непрерывна в $x=1$.

Чуть яснее: мы показали, что $|f(x)-f(1)| \leqslant |x-1|$. Поэтому при $\delta=\varepsilon>0$ получим
$|x-1| < \delta \; \Rightarrow \; |f(x)-f(1)|<\varepsilon$