Линия минимальной длины между двумя заданными точками

[sputnik_as]

Что ж... Не ожидал я такого от научного форума. Слов много, но, увы, так никто и не предложил последовательности функций $y_k(x)$, удовлетворяющей всем 4 граничным, обладающей свойством бесконечной дифференцируемости для каждой отдельной функции и одновременно:

$$ \lim_{k\to\infty} \int\limits_a^b \sqrt{1 + [y'_k(x)]^2} dx = \sqrt{(b-a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

Вместо этого послали на "первый курс"...

Вариант с функцией вида $\exp(-1/x^2)$ - спасибо, давно её не видел, но мне не понятно как в данном конкретном случае её применить.

Утверждение, что минимума не существует при данных граничных условиях... Не вижу в этом конструктивной критики. Сказали, что минимума нет и всё. Поясните! Ведь точная нижняя грань (которая в рассматриваемом классе бесконечно-дифференцируемых функций предположительно равна $\sqrt{(b-a)^2 + (y_b - y_a)^2}$, только пока примера нет) есть в более общем классе непрерывных функций, и "минимума не существует"?

Опять же упор на уравнения Эйлера-Лагранжа. Порядок низкий - мало условий, чтобы дополнительные граничные ставить. Всё это конечно хорошо, но никто не мешает нам ограничить класс функций и искать решения в этом узком классе функций.

Например, минимум вполне можно искать среди полиномов n-го порядка, которые заданным граничным удовлетворяют. И что же случится с коэффициентами полиномов, когда n начнёт расти?

Так полином третьего порядка единственный.

Полином четвёртого порядка обладает одним независимым от граничных условий параметром, по нему можно и продифференцировать. Жаль только интеграл в элементарных функциях найти скорее всего не удастся. И т.д. Тот факт, что перед нами минимум, а не максимум, придётся всё равно потом проверять - когда коэффициенты полиномов найдены.

[svv]

Можно использовать кубическую кривую Безье.
$\mathbf r(t)=(1-t)^3 \mathbf a_0 + 3t(1-t)^2 (\mathbf a_0+\mathbf n_0) + 3t^2(1-t)(\mathbf a_1-\mathbf n_1)+t^3\mathbf a_1, \quad t\in[0,1]$
Тут $\mathbf a_0$ и $\mathbf a_1$ — начальная и конечная точки, $\mathbf n_0$ и $\mathbf n_1$ — касательные векторы в этих точках (направленные в сторону увеличения параметра).
Уменьшайте длину касательных векторов, сохраняя их направление.

[alisa-lebovski]

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

Вариант с функцией вида $\exp(-1/x^2)$ - спасибо, давно её не видел, но мне не понятно как в данном конкретном случае её применить.

Я предложила Вам подумать. Тут можно взять функцию вида $\exp\{-a/(x(c-x))\}$, $x\in (0,c)$, $a,c>0$, и $0$ иначе. Это "холмик", который бесконечно гладко соединяет горизонтальные лучи $(-\infty,0)$ и $(c,+\infty)$. Если взять интеграл с переменным верхним пределом, с нижним пределом ноль, он соединяет два горизонтальных луча, нулевой и немного повыше (площадь под "холмиком"). Если еще раз взять интеграл, он будет соединять нулевой и наклонный лучи. Можно подобрать нужные параметры.

Или можно не брать второй интеграл, а домножить на $x$.

[svv]

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

Ведь точная нижняя грань (которая в рассматриваемом классе бесконечно-дифференцируемых функций предположительно равна $\sqrt{(b-a)^2 + (y_b - y_a)^2}$, только пока примера нет) есть в более общем классе непрерывных функций, и "минимума не существует"?

Ну да. Точная нижняя грань существует, она равна длине отрезка, соединяющего начальную и конечную точку. Из всех гладких кривых, соединяющих эти точки, такую длину имеет только отрезок. Но он не удовлетворяет Вашим условиям на производные.

Понятие "точная нижняя грань" как раз и выдумано для таких случаев, когда типа минимум есть, но он не совсем минимум, потому что не достигается ни на одном элементе множества (в данном случае гладких кривых с Вашими четырьмя условиями).

[Утундрий]

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

Порядок низкий - мало условий, чтобы дополнительные граничные ставить. Всё это конечно хорошо, но никто не мешает нам ограничить класс функций и искать решения в этом узком классе функций.

Или так. В общем, всё это и называется "привлечь дополнительные требования". Только имейте в виду: пока вы свои соображения не озвучите, никто о них догадаться скорее всего не сумеет. Ибо можно бесчисленным количеством способов не решить не поставленную задачу.

[mihaild]

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

Ведь точная нижняя грань (которая в рассматриваемом классе бесконечно-дифференцируемых функций предположительно равна $\sqrt{(b-a)^2 + (y_b - y_a)^2}$, только пока примера нет) есть в более общем классе непрерывных функций, и "минимума не существует"?

Непрерывные функции отношения к делу не имеют, у вас же условия на производные.
Существуют дифференцируемые (и даже гладкие) функции, дающие сколь угодно близкие к расстоянию между точками длину кривой. Любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям, дает бОльшую длину кривой, чем расстояние между точками (за исключением случая, когда отрезок подходит). Что вас смущает? Не любой функционал достигает экстремума.

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

так никто и не предложил последовательности функций $y_k(x)$

alisa-lebovski вам подсказала, как строить такую последовательность. Это ПРР, так что готовую формулу вам никто не выпишет.

[Someone]

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

так никто и не предложил последовательности функций $y_k(x)$

Ну, вон svv почти готовую формулу выложил. Чуть-чуть подумать осталось.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

А эта деятельность по изобретению последовательности, которая доставляет $\inf$ функционалу в каком-то странноватом классе функций, она какой-нибудь содержательно математический смысл имеет или это исключительно что бы топикстартер не подумал о форуме плохо? А то вон он какой сердитый:

sputnik_as в сообщении #1480604 писал(а):

Что ж... Не ожидал я такого от научного форума.

Риторический вопрос, ответ очевиден.

[sputnik_as]

Всем спасибо за ответы. Рад, что были те, кто откликнулся на подобную с точки зрения форума мелочь и помог построить подобную последовательность и даже не одну.

Резюмируя:

$$ \begin{aligned} & y(t) = (1 - t)^3 y_a + 3 t (1 - t)^2 \left( y_a + \frac{l_1}{3} y'_a \right) + 3 t^2 (1 - t) \left( y_b - \frac{l_2}{3} y'_b \right) + t^3 y_b, \\ & x(t) = (1 - t)^3 a + 3 t (1 - t)^2 \left( a + \frac{l_1}{3} \right) + 3 t^2 (1 - t) \left( b - \frac{l_2}{3} \right) + t^3 b, \\ & y'(t) = 6 (t - t^2) (y_b - y_a) + (1 - 4t + 3t^2) l_1 y'_a + (2t - 3t^2) l_2 y'_b, \\ & x'(t) = 6 (t - t^2) (b - a) + (1 - 4t + 3t^2) l_1 + (2t - 3t^2) l_2. \end{aligned} $$

удовлетворяет всем требованиям и сходится к прямой на интервале $(a, b)$ при $l_1, l_2 \to 0$. Вторая идея меня завела в следующие дебри. Вводим

$$ F(x, A, b, a) = \begin{cases} 0, & x \leq a;\\ \dfrac{\int\limits_0^x \exp \left[-\frac{A}{(x - a)(b - x)}\right] dx}{\int\limits_0^b \exp \left[-\frac{A}{(x - a)(b - x)}\right] dx}, & a < x < b; \\ 1, & b \leq x. \end{cases} $$

Искомые функции имеют вид:

$$ y(x,A) = \left( (y'_b - y'_a) F(x, A, b, a) + y'_a \right) x + (y_a - y'_a a) + F(x, A, b, a) [y_b - y'_b b - y_a + y'_a a] $$

Надеюсь, нигде не промахнулся.

Относительно того, откуда у этой мелочи ноги растут. Поверхностное натяжение - 2 бесконечные пластины, между ними жидкость, углы смачивания известны, силой тяжести пренебрегаем. Разница только в том, что зная углы мы не знаем о положении точек соприкосновения.

[pogulyat_vyshel]

sputnik_as в сообщении #1480652 писал(а):

Относительно того, откуда у этой мелочи ноги растут. Поверхностное натяжение - 2

А что до вас этой задачей ни кто не занимался, или занимался, но не догадался вариационные методы применить?

[sputnik_as]

Да, наворотил... Пределы, конечно, от $a$.

pogulyat_vyshel в сообщении #1480659 писал(а):

sputnik_as в сообщении #1480652 писал(а):

Относительно того, откуда у этой мелочи ноги растут. Поверхностное натяжение - 2

А что до вас этой задачей ни кто не занимался, или занимался, но не догадался вариационные методы применить?

Наверняка занимались и с внешним полем и без, просто я не специалист по чтению научной и учебной литературы - изобретаю велосипеды, и в конце всегда ошибаюсь. А иногда и в начале.

[alisa-lebovski]

Рада была помочь.