Последовательность средних порядка n

[VoprosT]

Здравствуйте, вот такая задача на предел последовательности:
$S_n = (\frac{a^n + b^n}{2})^{\frac{1}{n}}$, необходимо найти предел при $n \to \infty$. Нетрудно показать, что $\min(a,b)<S_n<\max(a,b)$. Также нетрудно показать, что при $a>1, b>1$ $S_n$ монотонно возрастает(в других трёх случаях показать это становится труднее), но предел это найти не помогает. Здесь может надо обойтись без монотонности вовсе?
Заранее можно понять, что пределом будет $\max(a,b)$ (пускай $b>a$, тогда $b$), и если пытаться показать это по определению, как-то не выходит. Подскажите, пожалуйста, в какую сторону пойти.

[mihaild]

Например логарифм посчитайте. Или корень внутрь дроби занесите.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480493 писал(а):

Например логарифм посчитайте. Или корень внутрь дроби занесите.

(случайно написал $S_n = (\frac{a^n + b^n}{n})^{\frac{1}{n}}$ вместо $S_n = (\frac{a^n + b^n}{2})^{\frac{1}{n}}$, исправил)
Да, я думал про логарифм, но его, к сожалению, использовать нельзя. Если занести корень внутрь, то выходит, что дробь стремится к $(a^n + b^n)^{\frac{1}{n}}$. Тогда можно попытаться показать, что $b - (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} \to 0$.

Пусть $(a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} - b = \varepsilon_n < 0$. Тогда $(a^n + b^n) = (\varepsilon_n + b)^n > n \cdot \varepsilon_n \cdot b^{n-1}$, то есть $\varepsilon_n$ меньше любого положительного $\varepsilon$, но это мало помогает, ибо $\varepsilon_n$ изначально отрицательное, такая же ситуация получается, если рассматривать $b - (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} = \varepsilon_n > 0$

[alisa-lebovski]

Не вычитайте, а делите. Вынесите $b$ за скобку.

[VoprosT]

alisa-lebovski в сообщении #1480500 писал(а):

Не вычитайте, а делите. Вынесите $b$ за скобку.

Буквально за 10 секунд до того, как увидел ваш комментарий, осенило. Да, $(\frac{a}{b})^n \to 0$. Спасибо!

Это упражнение вообще из Зорича. И перед тем, как находить предел, надо было показать, что $S_{n}(a,b)$ всегда лежит между $a$ и $b$. Но этот факт не нужен при нахождении предела. Интересно, В.А. Зорич его дал просто для понимания ситуации и общего развития?

Решение сводится к: $\lim_{n\to\infty}{(a^n + b^n)^{\frac{1}{n}}}$. И надо на секунду заглянуть под корень, чтобы посмотреть на предел, а это уже не арифметическая операция, как обосновать такой переход?
Из инструментов имею: пределы арифметических операций, $n^\frac{1}{n} \to 1$ , $a^\frac{1}{n} \to 1$ при $a>0$. Поэтому:

Подскажите, пожалуйста, с последним вопросом:
Пускай $A = \max(a_1,a_2,...,a_m)$, тогда $(a_{1}^n+...+a_{m}^n)^{\frac{1}{n}} \to A$ при $n \to \infty$.
Это следует из $A \leqslant (a_{1}^n+...+a_{m}^n)^{\frac{1}{n}} \leqslant A \cdot m^{\frac{1}{n}}$, отсюда предел такой последовательности равен $A$. Верно ли, что мы можем поступать вот так: $(a^n+b^n)^{\frac{1}{n}} = b \cdot ((\frac{a}{b})^{n} + 1^n)^{\frac{1}{n}} \to b \cdot 1$ ровно потому, что $1 >\frac{a}{b} $?

[alisa-lebovski]

VoprosT в сообщении #1480501 писал(а):

Верно ли, что мы можем поступать вот так: $(a^n+b^n)^{\frac{1}{n}} = b \cdot ((\frac{a}{b})^{n} + 1^n)^{\frac{1}{n}} \to b \cdot 1$ ровно потому, что $1 >\frac{a}{b} $?

По-моему, да.