Наивные вопросы по линейной алгебре

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы по линейной алгебре. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Необходимые и достаточные условия существования комплексной структуры на конечномерном линейном пространстве

Рассмотрим конечномерное вещественное линейное пространство $L$. Линейный оператор $J: L \to L$ такой, что $J^2 =-\operatorname{id}$, называется комплексной структурой на $L$. Если на $L$ можно ввести комплексную структуру, то из этого $L$ можно сделать комплексное пространство $L_C$, введя умножение векторов на комплексные числа по формуле $(\alpha + i \beta) \mathbf x = \alpha \mathbf x + \beta J \mathbf x$.

Не на всех вещественных пространствах можно ввести комплексную структуру. Так, поскольку $L$ есть овеществление $L_C$, то размерность $L_C$ вдвое меньше размерности $L$. Следовательно, размерность $L$ должна быть чётной.

Вопросы:
1. Является ли чётность размерности $L$ достаточным условием существования на $L$ комплексной структуры?
2. Если да, можно ли это доказать, не вылезая за пределы стандартного курса линейной алгебры?
3. Если нет, какие условия необходимы и достаточны?

Спасибо!

[nnosipov]

Anton_Peplov
А Вам известна связь между комплексными числами и матрицами 2-го порядка? Если да, то этого достаточно, чтобы ответить на первые два вопроса (а третий отпадет сам собой).

[Anton_Peplov]

nnosipov в сообщении #1480403 писал(а):

А Вам известна связь между комплексными числами и матрицами 2-го порядка?

Нет, не известна.

Имеется в виду, что $\mathbb C$ - это двумерное линейное пространство над $\mathbb R$? Тут возникнут матрицы перехода между базисами и матрицы линейных операторов, но не вижу, чем это поможет, так что это, вероятно, что-то не то.

[vpb]

1. Да. Это очень простой факт, можно сказать, тривиальное упражнение. Подумайте сначала, как определить оператор $J$ такой, что $J^2=-\operatorname{id}$, на двумерном пространстве, потом --- на четырехмерном, и т.д. (Подробности писать как-то даже неприлично).

[nnosipov]

Anton_Peplov в сообщении #1480406 писал(а):

Нет, не известна.

Хм ... Имеется в виду реализация поля комплексных чисел в виде подкольца вещественных матриц 2-го порядка. Когда комплексному числу $a+bi$ сопоставляется матрица 2-го порядка вида ... (попробуйте догадаться, это не должно быть сложно).

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1480406 писал(а):

Нет, не известна

Ну и плохо, что неизвестна. Привет от Кострикина.

nnosipov Не, это самому не догадаться. Ни в жисть ! Тут учебничек необходим. Впрочем, это вообще для понимания вопроса как бы и не надо. Лично мне кажется, что вводить комплексные числа через матрицы второго порядка, как в Кострикине --- плохая педагогическая идея.

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1480411 писал(а):

Ну и плохо, что неизвестна. Привет от Кострикина.

Заглянул в Кострикина. $a + ib \to aE + bJ$, где

$$ E = \begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && 1 \end{pmatrix} $$

$$ J = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ -1 && 0 \end{pmatrix} $$

да, сам бы не догадался.

Это надо осмыслить.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1480411 писал(а):

Не, это самому не догадаться. Ни в жисть !

Я имел в виду, что матрица, соответствующая мнимой единице, на каждом заборе написана. А уж если вспомнить, что умножение на мнимую единицу --- это поворот на понятно какой угол, то и совсем. Наконец, можно тупо найти матрицу, квадрат которой равен минус единичной.

vpb в сообщении #1480411 писал(а):

Лично мне кажется, что вводить комплексные числа через матрицы второго порядка, как в Кострикине --- плохая педагогическая идея.

Это да. Лучше уж по старинке.

-- Вс авг 23, 2020 21:46:37 --

Anton_Peplov
Ну, матрицу поворота на угол $\alpha$ Вы же раньше видели?

[Anton_Peplov]

Так. Очевидно, что матрица $J$ есть матрица комплексной структуры (её квадрат - это единичная матрица, умноженная на $-1$). Теперь остаётся обобщить на более высокие размерности и не ошибиться где-нибудь знаком.

-- 23.08.2020, 18:02 --

Для четвёртого порядка

$$ J = \begin{pmatrix} 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && 0 && -1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ -1 && 0 && 0 && 0 \\ \end{pmatrix} $$

Для любого чётного порядка $n$ элементы побочной диагонали чередуются сверху вниз: $1, -1, 1, -1, \dots$. Остальные элементы нулевые. Вроде нигде не запутался.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1480416 писал(а):

Вроде нигде не запутался.

Все правильно, но слишком сложно.

[pogulyat_vyshel]

Anton_Peplov

для этого есть учебники. Кострикин Манин Линейная алгебра

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1480416 писал(а):

Для любого чётного порядка $n$ элементы побочной диагонали чередуются сверху вниз: $1, -1, 1, -1, \dots$. Остальные элементы нулевые. Вроде нигде не запутался.

Да, правильно. Вообще говоря, есть разные школы, как эту матрицу писать. (Т.е. как упорядочивать элементы базиса, поскольку с точностью до порядка на элементах базиса оператор будет один и тот же). Например, можно взять блочно-диагональную, с блоками на диагонали величины 2, где каждый блок равен $J$.

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1480418 писал(а):

Все правильно, но слишком сложно.

Вы имеете в виду, что блочная запись этой матрицы была бы проще, или нечто другое?

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1480427 писал(а):

Вы имеете в виду, что блочная запись этой матрицы была бы проще

да

[Anton_Peplov]

Вопрос, по-видимому, закрыт, всем спасибо!