Предел монотонной варианты

[VoprosT]

Добрый день, помогите, пожалуйста, разобраться.

Пускай $x_n$ и $y_n$ - две последовательности, пределы которых равны $A$ и $B$ соответственно. Нетрудно показать, что, если, $A<B$, то, начиная с некоторого номера, всегда выполнено неравенство $x_n < y_n$. Одно из следствий теоремы: если $\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N \; (x_n \geqslant y_n)$, то $A \geqslant B$.
Док-во от противного: предположим, что $A<B$, тогда по теореме $\exists N' \in \mathbb{N} : \forall n>N' \; (x_n < y_n)$, выбираем $M = \max(N,N')$ и для $n > M$ получаем противоречие.

Но вот что мне интересно.
Вот так выглядит теорема: $(A<B) \Rightarrow (\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N (x_n<y_n))$. Логическая тавтология: $(\forall N \in \mathbb{N} \; \exists n>N \colon (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$.

Вот так выглядит следствие из теоремы: $(\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$.

Вопрос. Посылка импликации следствия из теоремы является отрицанием посылки теоремы(точнее, равносильного ей утверждения),а вывод одинаковый и обе импликации верные, что я где не так понимаю?(кажется, у меня проблемы с формальной логикой, и я где-то по пути что-то подменяю в своих рассуждениях)

[pogulyat_vyshel]

Так. $(A\Longrightarrow B)\Longleftrightarrow(\overline B\Longrightarrow\overline A)$. И что ? Вопрос-то в чем собсна?

[VoprosT]

pogulyat_vyshel в сообщении #1480355 писал(а):

Так. $(A\Longrightarrow B)\Longleftrightarrow(\overline B\Longrightarrow\overline A)$. И что ? Вопрос-то в чем собсна?

Он написан в последнем абзаце, если в символах, то у нас ситуация $\overline B \Rightarrow \overline A$, и в то же время $B \Rightarrow \overline A$

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1480352 писал(а):

Посылка импликации следствия из теоремы является отрицанием посылки теоремы(точнее, равносильного ей утверждения),а вывод одинаковый

А выпишите явно посылку и заключение теоремы и следствия.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480359 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480352 писал(а):

Посылка импликации следствия из теоремы является отрицанием посылки теоремы(точнее, равносильного ей утверждения),а вывод одинаковый

А выпишите явно посылку и заключение теоремы и следствия.

$(\forall N \in \mathbb{N} \; \exists n>N \colon (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$

$(\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N \; (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$

Похоже, не отрицание, да? Потому что $P(x_n,y_n)$ не меняется на $\neg P(x_n,y_n)$. И две посылки эти равносильны(Или нет?Если рассмотреть положительную и знакочередующуюся последовательности). Вот в чём была проблема, спасибо. (я ведь правильно разобрался?)

Хм. Посылки и правда не равносильны, например, для $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ и $y_n = \frac{1}{n+1}$ первое условие выполнено, а второе нет. Но утверждения(теорема в первой строке и следствие из неё во второй) оба верные, да? Ничего ведь не сломалось?
Можно провести аналогию:

$(x \; \vdots \; 4) \Rightarrow (x \; \vdots \; 2)$

$(x \; \vdots \; 8) \Rightarrow (x \; \vdots \; 2)$

Утверждения верные, но посылки не равносильны, из первого следует второе, как в случае с теоремой и следствием.

[pogulyat_vyshel]

VoprosT в сообщении #1480361 писал(а):

$(\forall N \in \mathbb{N} \; \exists n>N \colon (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$

$(\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N \; (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$

если мы применяем названное выше логическое правило к первой строчке то должно быть

$$(B>A)\Longrightarrow (\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N \; (x_n <y_n)) $$

"существует" меняем на "любой", "любой " на "существует" и утверждение на его отрицание

[

[pogulyat_vyshel]

VoprosT в сообщении #1480352 писал(а):

Предел монотонной варианты

кстати а при чем тут монотонность?

[VoprosT]

pogulyat_vyshel в сообщении #1480372 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480352 писал(а):

Предел монотонной варианты

кстати а при чем тут монотонность?

Ой, да просто там дальше в Зориче про монотонные варианты речь, и я параллельно одну задачку решал на эту тему, вот и случайно написал такой заголовок, похоже, спасибо, что поправили

-- 23.08.2020, 14:15 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1480367 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480361 писал(а):

$(\forall N \in \mathbb{N} \; \exists n>N \colon (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$

$(\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N \; (x_n \geqslant y_n)) \Rightarrow (A \geqslant B)$

если мы применяем названное выше логическое правило к первой строчке то должно быть

$$(B>A)\Longrightarrow (\exists N \in \mathbb{N} \colon \forall n>N \; (x_n <y_n)) $$

"существует" меняем на "любой", "любой " на "существует" и утверждение на его отрицание

[

Спасибо, но я разобрался с этим сразу после ответа mihaild. И чуть погодя добавил рассуждений в своё сообщение, вот интересно, правильно ли я разобрался.