Придумал школьную задачу

[mecak17]

А зачем простого числа?
Для любого корня $x_0$ этого многочлена $x_0 - 1$ делит сумму коэффициентов.
А $x_0 - k$ делит значение многочлена в $k$
Но к чему Вы клоните? К тому, что это может оказаться полезно?
p.s.(после двух следующих сообщений) получившаяся теорема выглядит как что-то, что уже было сформулировано и доказано несколько тысяч лет назад

[gris]

Ну я так понял ваш метод: У полинома вашего вида целым корнем может быть только двойка.

[mecak17]

Что является следствием того, что только для $x = 2$ или $0$ верно, что $x-1$ делит единицу.
Для простого числа $p$ будут возможны $x = 2$ или $0$ или $p + 1$ или $-p + 1$.

[gris]

Ну вот и сокращение числа вариантов. Осталось доказать теорему или сослаться на известную.

[mecak17]

gris в сообщении #1480133 писал(а):

доказать теорему

Ну тут вообще тривиально - если многочлен $P(x)$ делится на $x - x_0$, то $P(k)$ делится на $k - x_0$.

[gris]

а насколько школьники в этом разбираются?
Я не умею в эти полиномы над кольцами и прочую целочисленную муть. Целых чисел в природе нет.

[mecak17]

В теореме Безу вроде нет ничего нешкольного.

[gris]

Ну это надо залезать в теорию и практику составления задач для школьников. Вот вы выложили задачу со своим решением, вам дали несколько вариантов иных решений. Ваше лучше всех. Сама задача (семейство задач) мне показалось интересной. Кому-то нет. Но поучаствовали в обсуждении толковые люди. И я вот присоседился
Полезно ли для вас обсуждение? какие есть вопросы, жалобы и пожелания? (это я не в праве спрашивать, называется СМ!)

[FEBUS]

mecak17 в сообщении #1480101 писал(а):

Я строил уравнение так, чтобы сработал мой метод его решения

Не надо изобретать велосипед.
Это тривиальное давно известное следствие теоремы Безу:

Если $\;\; a - \;$ корень многочлена $f(x)$ с целыми коэффициентами, то для любого $n\in\mathbb{N} $ число $\;$$(n-a)\;$ делитель $\; f(n).$

Стало быть, здесь $(1-a)$ должно делить $f(1)=1$.

[nnosipov]

gris в сообщении #1480137 писал(а):

Целых чисел в природе нет.

Дооо, инфа 100%. Ой, пардон, 99,9%.

Отбраковывать целые (и даже рациональные) корни на основе теоремы Безу действительно просто. Во всяком случае, студентов (будущих учителей математики) этому точно учат --- в стандартном задачнике по алгебре Фаддеева и Соминского есть пара упражнений на этот прием. Так что и школьникам эти фокусы вполне можно показывать на систематической основе. Другое дело, все ли поймут и освоят.

[mecak17]

gris в сообщении #1480145 писал(а):

Полезно ли для вас обсуждение?

Чуть-чуть. Хотя бы понял, что я вообще придумал.

gris в сообщении #1480145 писал(а):

жалобы

Вот постоянно(где-то раз в полгода) придумываю что-нибудь, а потом оказывается, что это что-то общеизвестно, тривиально, и вообще есть способы лучше.

gris в сообщении #1480145 писал(а):

Ваше лучше всех

Это спорно, но спасибо.
В любом случае, вряд ли из этой беседы дальше что-то выйдет. До свидания и удачи(если вам больше нечего сказать, конечно)!