Статистическая проверка наличия корреляции

[pandemodeus]

Добрый день.
В ходе изучения корреляционного анализа наткнулся на проверку наличия корреляции. Гипотеза формулируется стандартно: $H_0:\rho=0$ при двусторонней альтернативе, где $\rho$ - истинный коэффициент корреляции. Гипотеза проверяется, очевидно, через выборочный коэффициент корреляции Пирсона. Непосредственно для проверки гипотезы вводится статистика $t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$, которая, как утверждается, имеет распределение Стьюдента с $n-2$ степенями свободы.
Я не понимаю, почему это так. Случайная величина $\frac{(r-\rho)\sqrt{n}}{(1-\rho^2)}$ имеет стандартное нормальное распределение. По логике, нужно еще найти случайную величину, имеющую распределение хи-квадрат с $n-2$ степенями свободы. Но построить ее пока не могу.
Еще вопрос. Я выше использовал как факт утверждение, что $E(r)=\rho, D(r)=\frac{(1-\rho^2)^2}{n}$, но я это тоже пока не осознал. Можете объяснить или посоветовать литературу, в которой это именно объясняется, а не просто формулируется. Литературы, где это просто используется как факт, уже нашел предостаточно.

[ipgmvq]

pandemodeus

По последнему вопросу:
Карл Пирсон разбирает его в
Pearson K, Filon LN. VII. Mathematical contributions to the theory of evolution.—III. On the probable errors and the coefficients of correlation between errors made in the determination of the constants of a normal frequency distribution. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character. 1898 Dec 31(191):229-311. https://doi.org/10.1098/rsta.1898.0007 Ссылка

По первому вопросу:
Подробный разбор с рисунками здесь
Soper HE. On the probable error of the correlation coefficient to a second approximation. Biometrika. 1913 Mar 1;9(1/2):91-115. https://www.jstor.org/stable/2331802 Ссылка
Распределение для частного случая с нулевой корреляцией впервые выведено "Стьюдентом" незадолго до этого:
Student. Probable error of a correlation coefficient. Biometrika. 1908 Sep 1:302-10. https://doi.org/10.1093/biomet/6.2-3.302 Ссылка

[pandemodeus]

ipgmvq
Спасибо, изучу.

[ipgmvq]

pandemodeus

И связка указанной Вами статистики с распределением Стьюдента по мотивам приведенной выше публикации Сопера было сделано впервые Рональдом Фишером здесь:
Fisher RA. Frequency distribution of the values of the correlation coefficient in samples from an indefinitely large population. Biometrika. 1915 May 1;10(4):507–21. https://www.jstor.org/stable/2331838 Ссылка