Разложение формального степенного ряда в сумму полиномов

[EvgenB]

В статье https://www.sciencedirect.com/science/a ... 9814000821 утверждается (это вспомогательное утверждение, которое используется во введении), что любой формальный степенной ряд $f\left( t \right)$ может быть представлен в виде линейной комбинации полиномов ${{p}_{n}}\left( t \right)$: $f\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}{{p}_{n}}\left( t \right)$, где ${{p}_{0}}\left( t \right)=1$, ${{p}_{n}}\left( t \right)=\sum\nolimits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{n,j}}}{{t}^{j}}$, ${{\alpha }_{n,n}}\ne 0$. Доказательство (Prorosition 1.5). Во первых, $t={{{p}_{1}}\left( t \right)}/{{{\alpha }_{1,1}}}\;$. Пусть ${{t}^{i}}=\sum\nolimits_{j=1}^{i}{{{\beta }_{i,j}}}{{p}_{j}}\left( t \right)$ для всех $1\le i\le k-1$. Тогда

$${{t}^{k}}=\frac{1}{{{\alpha }_{k,k}}}{{p}_{k}}\left( t \right)-\frac{1}{{{\alpha }_{k,k}}}\sum\limits_{i=1}^{k-1}{{{\alpha }_{k,i}}}{{t}^{i}}=\frac{1}{{{\alpha }_{k,k}}}{{p}_{k}}\left( t \right)-\frac{1}{{{\alpha }_{k,k}}}\sum\limits_{i=1}^{k-1}{{{\alpha }_{k,i}}}\sum\limits_{j=1}^{i}{{{\beta }_{i,j}}{{p}_{j}}}\left( t \right)=$$

$$=\frac{1}{{{\alpha }_{k,k}}}{{p}_{k}}\left( t \right)-\frac{1}{{{\alpha }_{k,k}}}\sum\limits_{j=1}^{k-1}{\left( \sum\limits_{i=j}^{k-1}{{{\alpha }_{k,i}}{{\beta }_{i,j}}} \right)}{{p}_{j}}\left( t \right).$$

Таким образом, с помощью математической индукции доказана справедливость преобразования ${{t}^{n}}\mapsto {{\left\{ {{p}_{k}}\left( t \right) \right\}}_{1\le k\le n}}$ и, следовательно, любой формальный степенной ряд $f\left( t \right)$ может быть представлен в виде линейной комбинации полиномов ${{p}_{n}}\left( t \right)=\sum\nolimits_{j=1}^{n}{{{\alpha }_{n,j}}}{{t}^{j}}$.
Так у авторов. Но пусть, например, ${{p}_{n}}\left( t \right)={{\left( t \right)}_{n}}=t\left( t-1 \right)...\left( t-n+1 \right)$. У меня не получается разложить бесконечный формальный ряд, например $f\left( t \right)={{\left( 1-t \right)}^{-1}}$, в сумму полиномов ${{\left( t \right)}_{n}}$. Как я понимаю, по мысли авторов статьи к решению этой задачи имеет отношение математическая индукция. Может кто-нибудь прояснить смысл вышеприведенного доказательства, т.е. мысль авторов статьи?

[Brukvalub]

EvgenB в сообщении #1479821 писал(а):

Так у авторов. Но пусть, например, ${{p}_{n}}\left( t \right)={{\left( t \right)}_{n}}=t\left( t-1 \right)...\left( t-n+1 \right)$. У меня не получается разложить бесконечный формальный ряд, например $f\left( t \right)={{\left( 1-t \right)}^{-1}}$, в сумму полиномов ${{\left( t \right)}_{n}}$.

Так авторы и не дают эффективного алгоритма разложения, их рассуждение позволяет выписать любую начальную конечную сумму членов разложения, но не все разложение сразу, одним махом.

[svv]

В матричной форме всё наглядно. Пусть
$\begin{bmatrix}p_0\\p_1\\p_2\\\cdots\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_{00}&0&0&\cdots\\\alpha_{10}&\alpha_{11}&0&\cdots\\\alpha_{20}&\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t^0\\t^1\\t^2\\\cdots\end{bmatrix}$
где на диагонали нет нулей. Обратные формулы
$\begin{bmatrix}t^0\\t^1\\t^2\\\cdots\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_{00}&0&0&\cdots\\\beta_{10}&\beta_{11}&0&\cdots\\\beta_{20}&\beta_{21}&\beta_{22}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_0\\p_1\\p_2\\\cdots\end{bmatrix}$

$(\alpha_{ij})$ и $(\beta_{jk})$ — две бесконечные нижнетреугольные взаимно обратные матрицы:
$\begin{bmatrix}\alpha_{00}&0&0&\cdots\\\alpha_{10}&\alpha_{11}&0&\cdots\\\alpha_{20}&\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_{00}&0&0&\cdots\\\beta_{10}&\beta_{11}&0&\cdots\\\beta_{20}&\beta_{21}&\beta_{22}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots\\0&1&0&\cdots\\0&0&1&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}$

Очевидно,
$\alpha_{ii}\beta_{ii}=1$
$\sum\limits_{j=0}^{\infty}\alpha_{ij}\beta_{jk}=\sum\limits_{j=k}^{i}\alpha_{ij}\beta_{jk}=\sum\limits_{j=k}^{i-1}\alpha_{ij}\beta_{jk}+\alpha_{ii}\beta_{ik}=0\,,\quad i>k$
Отсюда получаем рекуррентные формулы
$\beta_{ii}=(\alpha_{ii})^{-1}$
$\beta_{ik}=-(\alpha_{ii})^{-1}\sum\limits_{j=k}^{i-1}\alpha_{ij}\beta_{jk}\,,\quad i>k$

[svv]

EvgenB в сообщении #1479821 писал(а):

Так у авторов. Но пусть, например, ${{p}_{n}}\left( t \right)={{\left( t \right)}_{n}}=t\left( t-1 \right)...\left( t-n+1 \right)$. У меня не получается разложить бесконечный формальный ряд, например $f\left( t \right)={{\left( 1-t \right)}^{-1}}$, в сумму полиномов ${{\left( t \right)}_{n}}$.

Я Вас понял.

Действительно, пусть $f(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} c_j t^j$. Подставим сюда $t^j=\sum\limits_{k=0}^{j}\beta_{jk}p_k(t)$:
$f(t)=\sum\limits_{j=0}^\infty \left(c_j\sum\limits_{k=0}^{j}\beta_{jk}p_k(t)\right)$
Если бы можно было изменить порядок суммирования (для чего нет достаточных оснований), мы получили бы коэффициенты при $p_k(t)$:
$f(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum\limits_{j=k}^{\infty}c_j\beta_{jk}\right)p_k(t)$
Но всё равно ряд в скобках, дающий коэффициенты, должен сходиться. А он в Вашем примере расходится.

Проблема!

[Otta]

svv в сообщении #1479845 писал(а):

Но всё равно ряд в скобках, дающий коэффициенты, должен сходиться.

Почему?

[svv]

Даже у формального степенного ряда должны быть определённые коэффициенты при степенях. А тут вместо коэффициентов расходящиеся ряды.

[EvgenB]

Brukvalub в сообщении #1479837 писал(а):

Так авторы и не дают эффективного алгоритма разложения, их рассуждение позволяет выписать любую начальную конечную сумму членов разложения, но не все разложение сразу, одним махом.

Я как раз и пытаюсь угадать мысль авторов статьи, которую не могу понять прямо. Получается, утверждение, что любой формальный степенной ряд $f\left( t \right)$ может быть представлен в виде $f\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}{{p}_{n}}\left( t \right)$, где ${{p}_{0}}\left( t \right)=1$, ${{p}_{n}}\left( t \right)=\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{{\alpha }_{n,i}}}{{t}^{i}}$, ${{\alpha }_{n,n}}\ne 0$ нельзя понимать буквально. Но а как тогда понимать? Понятно, что для любой вышеопределенной последовательности полиномов ${{p}_{n}}\left( t \right)$ существуют числа ${{\beta }_{n,i}}$ такие, что ${{t}^{n}}=\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{{\beta }_{n,i}}}{{p}_{i}}\left( t \right)$. Тогда $f\left( t \right)=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }{{{f}_{n}}}\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{{\beta }_{n,i}}}{{p}_{i}}\left( t \right)$. Исходя из этого, мы можем выписать любую начальную конечную сумму членов разложения по полиномам ${{p}_{n}}\left( t \right)$. Но в рассуждениях авторов статьи присутствует математическая индукция; в чем ее роль?

svv в сообщении #1479847 писал(а):

Даже у формального степенного ряда должны быть определённые коэффициенты при степенях. А тут вместо коэффициентов расходящиеся ряды.

Да, именно так. Для формальных степенных рядов можно корректно определить бесконечную сумму, бесконечное произведение, бесконечную итерацию подстановки ряда в ряд, но при этом вопросы о сходимости ряда не должны возникнуть: к формальным рядам они отношения не имеют.

[svv]

Вопрос о сходимости самого ряда не ставится. Но при замене базиса $(t^i)$ на $(p_k(t))$ возникают ряды для коэффициентов разложения $f(t)$ в новом базисе. И вот эти ряды, по-моему, уже вовсе не формальные и обязаны сходиться, чтобы замена базиса имела смысл.

[EvgenB]

svv в сообщении #1479876 писал(а):

Вопрос о сходимости самого ряда не ставится. Но при замене базиса $(t^i)$ на $(p_k(t))$ возникают ряды для коэффициентов разложения $f(t)$ в новом базисе. И вот эти ряды, по-моему, уже вовсе не формальные и обязаны сходиться, чтобы замена базиса имела смысл.

Да, все так. Но у авторов статьи эта самая замена базиса вроде как осуществляется и при этом все в терминах формальных степенных рядов. Мой вопрос касается помощи в понимании логики авторов статьи. Возможно, что авторы заблуждаются, но это маловероятно.

[svv]

Вы привели хороший пример с разложением $(1-t)^{-1}$ по $(t)_k$. В этом примере $\alpha_{ij}$ совпадают с числами Стирлинга первого рода (со знаком), а $\beta_{jk}$ — с числами Стирлинга второго рода.

Мы сталкиваемся с тем, что коэффициент при $(t)_k$ равен сумме всех элементов $k$-го столбца бесконечной матрицы $(\beta_{jk})$ с быстро растущими элементами.

Можно найти конечную сумму первых $N$ слагаемых. Но при $N\to\infty$ эта сумма не стремится к конечному пределу, поэтому формального ряда по полиномам $(t)_n$ с определёнными коэффициентами мы не получим.

[EvgenB]

Brukvalub в сообщении #1479837 писал(а):

EvgenB в сообщении #1479821 писал(а):

Так у авторов. Но пусть, например, ${{p}_{n}}\left( t \right)={{\left( t \right)}_{n}}=t\left( t-1 \right)...\left( t-n+1 \right)$. У меня не получается разложить бесконечный формальный ряд, например $f\left( t \right)={{\left( 1-t \right)}^{-1}}$, в сумму полиномов ${{\left( t \right)}_{n}}$.

Так авторы и не дают эффективного алгоритма разложения, их рассуждение позволяет выписать любую начальную конечную сумму членов разложения, но не все разложение сразу, одним махом.

Если Вы поняли рассуждения авторов статьи, пожалуйста, продемонстрируйте их на моем примере.

[Farest2]

(Оффтоп)

Боже, неужели и тут чудеса типа рамануджановского $1+2+3+\ldots=-\tfrac{1}{12}$?

[Brukvalub]

EvgenB в сообщении #1479890 писал(а):

Если Вы поняли рассуждения авторов статьи, пожалуйста, продемонстрируйте их на моем примере.

Прочитав анализ уважаемого svv, я пришел к выводу, что в обсуждаемой статье авторы сделали ошибку, которую я сначала не заметил, настолько хорошо она оказалась замаскирована рассуждениями именно про "формальные" степенные ряды.

[novichok2018]

Не понял, ради чего это всё делать. Разве исходный степенной ряд не есть уже разложение по полиномам? Хорошо, или разложить степени по любой системе полиномов, например ортогональных - Лежандра, Якоби и тд, перегруппировать - получится разложение по ним. Правда опять, как отмечали здесь умные люди, встанет вопрос о законности перегруппировки, перестановке рядов.
Каким специальным свойством обладает переразложение из статьи, чтобы его строить и для чего потом использовать?

[EvgenB]

novichok2018 в сообщении #1479941 писал(а):

Каким специальным свойством обладает переразложение из статьи, чтобы его строить и для чего потом использовать?

Теория формальных степенных рядов - это чистая алгебра, которая не пересекается с анализом. Утверждение, что любой формальный степенной ряд может быть разложен в сумму полиномов, должно доказываться алгебраическими методами, без ссылок на анализ. Авторы статьи, мысль которых я прошу помочь понять, претендуют на такое доказательство. Brukvalub считает, что они ошибаются. У меня тоже есть такое подозрение, но я в нем не уверен. Авторы опираются на математическую индукцию, но я не могу понять смысл этого шага.