Линейно независимые системы векторов

[oleg.k]

Возник еще 1 вопрос.

Пусть $V$ - произвольное n-мерное векторное пространство, содержащее хотя бы один ненулевой элемент. Может ли в нем быть линейно независимая система векторов из $n$ позиций, которая не является базисом?

[svv]

Хочу порекомендовать Вам хорошую книгу по линейной алгебре (не только в плане ответа на этот вопрос, но и вообще):
Булдырев, Павлов. Линейная алгебра и функции многих переменных.
На стр.22 читаем:

Цитата:

*20. Для того чтобы линейно независимый набор векторов конечномерного линейного пространства $E$ был базисом этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы число векторов в этом наборе было равно $\dim E$.

Отсюда можно получить ответ на Ваш вопрос.

Книга интересно построена: утверждения со звёздочкой (как это), составляющие большую часть текста, читатель доказывает сам.

[oleg.k]

svv в сообщении #1479760 писал(а):

Хочу порекомендовать Вам хорошую книгу по линейной алгебре (не только в плане ответа на этот вопрос, но и вообще):
Булдырев, Павлов. Линейная алгебра и функции многих переменных.

Спасибо за рекомендацию. Касательно утверждения. То, что любой базис является линейно независимой системой векторов и то, что все базисы содержат одно и то же число векторов, я доказал. Сейчас в обратную сторону пытаюсь доказать.

[svv]

Кстати, как у Вас определяется размерность векторного пространства? Как максимальное число линейно независимых векторов? Как число векторов в базисе?

[oleg.k]

svv в сообщении #1479769 писал(а):

Кстати, как у Вас определяется размерность векторного пространства? Как максимальное число линейно независимых векторов? Как число векторов в базисе?

Сначала доказывается, что все базисы содержат одинаковое число векторов. Это число и называется размерностью ВП.

[svv]

Понял, спасибо.

oleg.k в сообщении #1479750 писал(а):

Может ли в нем быть линейно независимая система векторов из $n$ позиций, которая не является базисом?

Пусть в $n$-мерном пространстве $E=(e_1,\ldots,e_n)$ — базис, а система $V=(v_1,\ldots,v_n)$ — линейно независимая, но не полная система векторов.

Будем брать по одному векторы из $E$. Если очередной вектор $e_i$ не выражается линейно через векторы $V$, добавляем его к системе $V$. Если выражается, ничего не делаем, просто переходим к следующему вектору из $E$, если таковые ещё остались.
Покажите, что полученная в результате система останется линейно независимой, но станет полной, то есть будет базисом.

[oleg.k]

svv в сообщении #1479803 писал(а):

Будем брать по одному векторы из $E$. Если очередной вектор $e_i$ не выражается линейно через векторы $V$, добавляем его к системе $V$. Если выражается, ничего не делаем, просто переходим к следующему вектору из $E$, если таковые ещё остались.

А если тех векторов, которые выражаются, бесконечно много и к тому же несчетно? Выбираем мы последовательно, шаг за шагом. Вдруг окажется, что мы никогда не сможем дойти до нужного вектора, который не будет выражаться? (хотя его наличие я, конечно же, не отрицаю). Этот момент мне очень интересен с более общей точки зрения: можно ли использовать подобные переборы, когда речь может идти о несчетном множестве объектов?


P.S. Сам факт я доказал методом от противного.

[svv]

oleg.k в сообщении #1479750 писал(а):

Пусть $V$ - произвольное n-мерное векторное пространство

По определению (Вашему!) в этом пространстве существует конечный базис $E$, и в нём ровно $n$ элементов. Систему $V=(v_i)_{i=1}^n$ мы пополняем векторами из $E$ (и то не всеми, а только теми, добавление которых не нарушит линейной независимости системы). Так что надо проверить и добавить самое большее $n$ векторов.

oleg.k в сообщении #1479827 писал(а):

Вдруг окажется, что мы никогда не сможем дойти до нужного вектора, который не будет выражаться?

Конечно, позже выяснится, что мы никогда не дойдём до такого вектора $e_i$, который не выражался бы через векторы $V$. Ведь если бы таковые были, мы в конце концов получили бы базис из более чем $n$ векторов в $n$-мерном пространстве. А это невозможно: как Вы заметили, все базисы имеют равное число векторов.

[oleg.k]

А мы не разные вещи доказываем? Я доказываю, что не бывает линейно независимых систем, состоящих из $n$ векторов в $n$-мерном ВП, которые не являются базисами, а Вы доказываете, что любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.

-- 18.08.2020, 23:02 --

Upd. "линейно независимую систему, состоящую менее чем из $n$ позиций" естественно.

[svv]

oleg.k в сообщении #1479832 писал(а):

Вы доказываете, что любую линейно независимую систему можно дополнить до базиса.

Нет. Просто по правилам форума я не могу давать полного решения, только совет или намёк. Смотрите, что предполагалось:

svv в сообщении #1479803 писал(а):

Покажите, что полученная в результате система останется линейно независимой, но станет полной, то есть будет базисом.

Допустим, Вы поверили совету и доказали это. Сколько векторов будет в системе после пополнения?
Так как все базисы содержат равное число векторов, то $n$.
$\Rightarrow$ реально мы не пополнили систему $V$ ни одним вектором.
$\Rightarrow$ все базисные векторы $E$ линейно выражаются через векторы $V$.
$\Rightarrow$ любой вектор линейного пространства выражается через векторы $V$.
$\Rightarrow$ $V$ — базис.

Пожалуйста, в дальнейшем имейте в виду, что большую часть доказательства Вы должны достроить сами. В том числе понять, как распорядиться советом.

-- Вт авг 18, 2020 23:18:46 --

[oleg.k]

svv в сообщении #1479834 писал(а):

Нет. Просто по правилам форума я не могу давать полного решения, только совет или намёк.

Вопрос доказательства этого факта отпал, я его доказал. Но по-другому. Я хотел обсудить именно Ваше доказательство. Сам я вот как доказывал.

Утверждение. Пусть $V$ - произвольное $n$-мерное векторное пространство ($n > 0$). Тогда любая линейно независимая система из $n$ позиций будет базисом этого пространства.

Доказательство. Метод от противного. Предположим, что нашлось некоторое $n$-мерное ($n > 0$) векторное пространство $W$ и некоторая линейно независимая система $(\nu_1, ... , \nu_n)$ из $n$ позиций, состоящая из векторов $W$, которая не является базисом пространства $W$. Тогда либо через эту систему можно выразить не любой вектор, либо найдется вектор, который можно выразить через эту систему как минимум двумя разными способами, либо то и то. Раз система линейно независима, то второй и третий варианты отпадают (если через некоторую систему векторов некоторый вектор можно выразить более чем одним способом, то она линейно зависима). Получается, что существует вектор $\omega \in W$, который через эту систему не выражается. Рассмотрим систему $(\nu_1, ... , \nu_n, \omega)$. Она состоит из $n+1 > n$ позиций, следовательно она линейно зависима, значит существует ее нетривиальная линейная комбинация, равная нулю: $\lambda_1 \nu_1, ... , \lambda_n \nu_n, \lambda_{n+1}\omega = 0$. Очевидно, что в этой линейной комбинации $\lambda_{n+1} \ne 0$ (т.к. если бы нашлась нетривиальная линейная комбинация, в которой $\lambda_{n+1} = 0$, то $\lambda_1 \nu_1, ... , \lambda_n \nu_n $ была бы нетривиальной линейной комбинацией, равной нулю, что противоречило бы линейной независимости $(\nu_1, ... , \nu_n)$). Получается, что вектор $\omega$ можно выразить через $(\nu_1, ... , \nu_n)$, что противоречит тому, как мы его выбирали. Получили противоречие, теорема доказана.



Но мне бы хотелось разобрать Ваш способ.

svv в сообщении #1479803 писал(а):

Будем брать по одному векторы из $E$. Если очередной вектор $e_i$ не выражается линейно через векторы $V$, добавляем его к системе $V$. Если выражается, ничего не делаем, просто переходим к следующему вектору из $E$, если таковые ещё остались.
Покажите, что полученная в результате система останется линейно независимой, но станет полной, то есть будет базисом.

Я перепутал $E$ и $V$ вначале . Вот я понять не могу. Откуда мы знаем, выражается ли некоторый вектор из $E$ через $V$?

-- 18.08.2020, 23:52 --

Единственное, как я могу понять эту фразу, это то, что мы должны формально провести процедуру проверки для векторов из $E$ и посмотреть на ее результат.

-- 18.08.2020, 23:59 --

Только легче мне от этого не стало. Ну допустим некоторый $e_i$ "не прошел проверку", т.е. он не выражается через систему $V$. Ну добавим мы его к этой системе и получим линейно зависимую систему. И что делать дальше?

-- 19.08.2020, 00:05 --

Ааа кажется я понял, что Вы имели в виду. Надо доказать, что такой ситуации быть не может, ну а дальше раз базисные вектора выражаются через систему $V$, то и любой вектор через нее выразится. В купе с линейной независимостью это означает, что она базис. Так?

[svv]

oleg.k в сообщении #1479835 писал(а):

Ну допустим некоторый $e_i$ "не прошел проверку", т.е. он не выражается через систему $V$. Ну добавим мы его к этой системе и получим линейно зависимую систему. И что делать дальше?

Имеется линейно независимая система $V=(v_i)_{i=1}^n$ и вектор $a$. Допустим, мы добавили $a$ к $V$ и получили линейно зависимую систему:
$c_1v_1+\ldots+c_nv_n+c_{n+1}a=0$,
где не все $c_i$ нулевые. Тогда $c_{n+1}\neq 0$, иначе векторы $(v_i)$ будут линейно зависимы. Тогда (дежа вю!), поделив обе части на $c_{n+1}$, выразим вектор $a$ через $(v_i)$.
Следовательно, если $a$ нельзя представить линейной комбинацией $(v_i)$, его добавление к системе $(v_i)$ сохранит линейную независимость системы.

oleg.k в сообщении #1479835 писал(а):

Ааа кажется я понял, что Вы имели в виду. Надо доказать, что такой ситуации быть не может, ну а дальше раз базисные вектора выражаются через систему $V$, то и любой вектор через нее выразится. В купе с линейной независимостью это означает, что она базис. Так?

Да!

[oleg.k]

svv больше Вам спасибо

[oleg.k]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479496 писал(а):

Опр. Базисом (алгебраическим) линейного пространства $X$ называется набор векторов $\mathcal E=\{e_\alpha\}\subset X$ такой, что
1) любое конечное подмножество этой системы линейно независимо
2) любой вектор $x\in X$ является линейной комбинацией конечного набора векторов из $\mathcal E$.

А что такое "набор" векторов? Просто множество или упорядоченное? Если упорядоченное, то частично, линейно, вполне или как?

[svv]

Из английской Википедии, статья Basis (linear algebra):

Цитата:

It is often convenient or even necessary to have an ordering on the basis vectors, e.g. for discussing orientation, or when one considers the scalar coefficients of a vector with respect to a basis, without referring explicitly to the basis elements. In this case, the ordering is necessary for associating each coefficient to the corresponding basis element.
...
For emphasizing that an order has been chosen, one speaks of an '''ordered basis''', which is therefore not simply an unstructured set, but e.g. a sequence, or an indexed family, or similar; see Ordered bases and coordinates below.