Об одном симметричном случайном блуждании

[vicvolf]

Optimizator в сообщении #1479473 писал(а):

Еще, например, при $N=4,5$ индикаторы $X_2$ и $X_3$ не являются независимыми при равновероятном выборе $n$, поскольку $X_2X_3=0$.

Именно так. Они являются слабо зависимыми, как любое представление такого вида для сильно аддитивных арифметических функций. Поэтому автор берет асимптотические значения, которые якобы независимы. Об этом есть в Просветове "Вероятностная теория чисел" на стр. 26.

alisa-lebovski в сообщении #1479482 писал(а):

Если делать строго, то так. Пусть $I_p(m)$ - индикатор того, что $m$ делится на $p$. Определим случайные величины $X_{p,n}(m)=I_p(m)$ на отрезках $[1,n]$. Определим cлучайные величины $\omega_n(m)=\omega(m)$ на отрезках $[1,n]$. Отрезки исполняют роль пространства элементарных исходов. Тогда $\omega_n=\sum_{p\le n}X_{p,n}$.

Ваше мнение по 26 стр. Просветова о таком представлении для всех сильно аддитивных функций?

[alisa-lebovski]

Постников, а не Просветов. Представление в принципе есть, но формула и текст написаны не вполне корректно, так что вводят читателя в заблуждение. Написаны значения функций, а говорится про случайные величины. Да, тут есть сумма случайных величин, но при каждом $n$ своя. И с одной стороны, эти случайные величины к чему-то сходятся, с другой стороны - их число в сумме растет. Это надо внимательно и сложно учитывать, как по-видимому делает Кубилюс. Все не так просто.

А функция Мертенса ведь не относится к числу сильно аддитивных?

Дальше там еще более странные вещи, раньше такого не видела, как-то сомнительно.

-- Вс авг 16, 2020 20:57:29 --

Кстати, поучительна судьба теоремы Эрдеша-Каца (см. Википедию), которую они вроде как доказали в 1940 году, но по нынешним критериям строгости это не доказательство, а строгое доказательство получено только в 1958 году Реньи и Тураном. Требования к строгости в математике со временем растут. Имейте в виду.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479489 писал(а):

Постников, а не Просветов. Представление в принципе есть, но формула и текст написаны не вполне корректно, так что вводят читателя в заблуждение. Написаны значения функций, а говорится про случайные величины. Да, тут есть сумма случайных величин, но при каждом $n$ своя. И с одной стороны, эти случайные величины к чему-то сходятся, с другой стороны - их число в сумме растет. Это надо внимательно и сложно учитывать, как по-видимому делает Кубилюс.

Да Постников. Цель одна - оценить ошибку для представления сильно аддитивной функции, как суммы независимых случайных величин. Сходным образом Кубилюс рассматривает аддитивные функции. Это вообще основной подход вероятностной теории чисел при рассмотрении арифметических функций.

Цитата:

А функция Мертенса ведь не относится к числу сильно аддитивных?

Функция Мертенса относится к сумматорным функциям, т.е. суммы других арифметических функций. Я вообще изучаю сумматорные функции. Рассматривал, при каких условиях они сходятся к нормальному распределению, тоже оценивал отклонение от суммы независимых случайных величин. Сейчас изучаю асимптотику, в частности сумм функций простого аргумента topic140635.html

[alisa-lebovski]

Но сумматорные функции не факт, что представляются в виде сумм независимых случайных величин. Обратите внимание, что для числа простых делителей суммирование идет можно сказать "поперек" - по (простым) номерам разных случайных величин, а не "вдоль" - по номерам разных значений одной случайной величины, как получается для сумматорных функций, например, для Мертенса.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479499 писал(а):

Но сумматорные функции не факт, что представляются в виде сумм независимых случайных величин. Обратите внимание, что для числа простых делителей суммирование идет можно сказать "поперек" - по (простым) номерам разных случайных величин, а не "вдоль" - по номерам разных значений одной случайной величины, как получается для сумматорных функций, например, для Мертенса.

А почему Вы считаете, что при таком подходе выбор следующего простого делителя из отрезка $[1,n]$ можно считать случайным, а выбор следующего натурального числа из того же отрезка для функции Мертенса нет?

[alisa-lebovski]

Так я как раз это и объясняю. Потому что разным простым делителям соответствуют разные случайные величины, каждому делителю соответствует своя функция индикатора делимости других чисел на него, причем эти случайные величины к тому же оказываются асимптотически независимы. В случае функции Мертенса просто суммируются последовательно значения функции Мебиуса, а не разные случайные величины, одна случайная величина преобразуется в другую, нет схемы суммирования случайных величин.