Колеса на наклонной плоскости

[pogulyat_vyshel]

Колесная пара состоит из невесомой оси длины $l$ на которую насажены два одинаковых колеса. Колеса могут независимо друг от друга вращаться без трения вокруг оси. Середину оси обозначим за $S$.
Колеса осесимметричны, момент инерции колеса относительно оси равен $J$; масс колеса -- $m$; радиус колеса -- $r$.
Колесную пару ставят на совсем шероховатую наклонную плоскость и закручивают так, что в начальный момент времени точка $S$ неподвижна, а сама ось вращается с угловой скоростью $\omega>0$. Угол наклона плоскости к горизонтали равен $\alpha\in(0,\pi/2)$.
Найти период колебаний высоты точки $S$ при дальнейшем движении.

[pogulyat_vyshel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1478359 писал(а):

Найти период колебаний высоты точки $S$ при дальнейшем движении.

и амплитуду

[realeugene]

Толщина колёс нулевая?

[fred1996]

Период скорее всего равен $\frac{\pi}{\omega}$, поскольку равнодействующая сил не создаёт момента относительно оси вращения стержня.
Амплитуда же вычисляется из обычных формул скатывания сплошного диска с наклонной плоскости с меняющимся углом наклона. Все интегралы берутся, поскольку представляют собой комбинации полиномов с синусами и косинусами.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1479099 писал(а):

Период скорее всего равен $\frac{\pi}{\omega}$,

не угадали

-- 15.08.2020, 14:22 --

вопрос на засыпку: сколько степеней свободы?

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479276 писал(а):

сколько степеней свободы?

Две, вроде.

[pogulyat_vyshel]

Типичные картинки, которые рисует на плоскости центр оси колесной пары. Ось $Y$ идет вдоль линии ската и направлена в сторону увеличения высоты горки, ось $X$ расположена горизонтально

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479276 писал(а):

вопрос на засыпку: сколько степеней свободы?

Три координаты, но только две скорости.

[realeugene]

Угловая скорость вращения оси сохраняется, $T=\frac{2\pi}{\omega}$

[fred1996]

realeugene в сообщении #1479335 писал(а):

Угловая скорость вращения оси сохраняется, $T=\frac{2\pi}{\omega}$

В общем случае да. Но в случае начальной ориентации стержня вдоль оси $x$ он вырождается в мой ответ. А я в спешке только его и рассмотрел.

[pogulyat_vyshel]

А вот так происходит перестройка от одного типа движения к другому