Об одном симметричном случайном блуждании

[Someone]

vicvolf в сообщении #1478062 писал(а):

У нас конечное вероятностное пространство, поэтому счетная аддитивность не выполняется.

Неправда. Счётная аддитивность в конечном вероятностном пространстве очень даже выполняется.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1478215 писал(а):

Счётная аддитивность в конечном вероятностном пространстве очень даже выполняется.

Да

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1477961 писал(а):

Попробую еще раз объяснить разницу между случайной величиной и случайным блужданием. Да, и функцию Мебиуса, и функцию Мертенса можно считать случайными величинами, заданными на $\Omega=[1,n]$. Допустим, у нас есть обобщенный игральный кубик, который может выпадать числами от $1$ до $n$. Бросая кубик, получаем случайное число $\nu_n$, берем $\mu(\nu_n)$ или $M(\nu_n)$ - это случайные величины, спору нет. Предположим, мы строили бы функцию Мертенса так: берем $M(n-1)$, бросаем кубик на $[1,n]$, выпадает $\nu_n$, прибавляем $\mu(\nu_n)$, получаем $M(n)$, потом бросаем кубик на $[1,n+1]$, выпадает $\nu_{n+1}$, прибавляем $\mu(\nu_{n+1})$, получаем $M(n+1)$ и т.д. Тогда это было бы случайное блуждание, правда неоднородное, но асимптотически однородное и асимптотически симметричное. Но ведь мы не так делаем! Мы прибавляем к $M(n-1)$ не случайное $\mu(\nu_n)$, а вполне определенное $\mu(n)$, которое однозначно определяется предыдущими значениями $\mu(1),\dots,\mu(n-1)$ или же предыдущими значениями $M(1),\dots, M(n-1)$ (если брать их разности).

Здесь все понятно. Не понятна только первая фраза. Зачем нужно это противопоставление? Ведь случайное блуждание есть сумма независимых бернуллиевских случайных величин, т.е. является также случайной величиной.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1479334 писал(а):

Здесь все понятно. Не понятна только первая фраза. Зачем нужно это противопоставление? Ведь случайное блуждание есть сумма независимых бернуллиевских случайных величин, т.е. является также случайной величиной.

Нет, не понятно. Объясняю еще раз. Значения случайного блуждания в последовательные моменты времени - это случайные величины, являющиеся последовательными суммами независимых случайных величин. А само случайное блуждание - это случайный процесс, а не случайная величина. Так же как отдельные значения функции - это числа, но функция - это не число. Случайный процесс - это функция двух аргументов: элементарного исхода и времени. Если фиксируем время, получаем случайную величину в это время, если фиксируем элементарный исход - получаем траекторию по времени.

[vicvolf]

alisa-lebovski
Из сказанного Вами следует, что арифметическая функция Мертенса не является суммой случайных величин?
Тогда рассмотрим другой пример арифметической функции количества натуральных чисел $Q(n)$, удовлетворяющих определенному свойству - $A$.
Введем случайную величину индикатор - $I(m \in A)=1$, в противном случае $I(m)=0$.
Будет ли справедливо $Q(n)=\sum_{m \leq n} {I(m)}$?

[alisa-lebovski]

Вы опять путаете случайную величину (набор значений на $[1,n]$) и значения случайной величины (числа). Сумма значений случайной величины - это тоже число, а не случайная величина.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479409 писал(а):

Вы опять путаете случайную величину (набор значений на $[1,n]$) и значения случайной величины (числа). Сумма значений случайной величины - это тоже число, а не случайная величина.

Я наверно не так обозначил. У индикатаров $I_m$ конечно есть распределение: $I_m=1$ с вероятностью $p_m$ и $I_m=0$ с вероятностью $1-p_m$. Тогда $Q(n)=\sum_{m \leq n} {I_m}$?
Ну, например. Далее даю фрагмент статьи: пусть имеется семейство независимых случайных величин $X_p$, определенных следующим образом: $X_p=1$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$, где $p$ - простое число. Тогда $\omega(n)=\sum_{p \leq n} {X_p}$.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1479456 писал(а):

У индикатаров $I_m$ конечно есть распределение: $I_m=1$ с вероятностью $p_m$ и $I_m=0$ с вероятностью $1-p_m$. Тогда $Q(n)=\sum_{m \leq n} {I_m}$?

Как Вы собираетесь сделать такое распределение индикаторам, если речь идет о принадлежности к множеству (или обладанию свойством)?

vicvolf в сообщении #1479456 писал(а):

Ну, например. Далее даю фрагмент статьи: пусть имеется семейство независимых случайных величин $X_p$, определенных следующим образом: $X_p=1$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$, где $p$ - простое число. Тогда $\omega(n)=\sum_{p \leq n} {X_p}$.

Это просто неверно.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479459 писал(а):

vicvolf в сообщении #1479456 писал(а):

У индикатаров $I_m$ конечно есть распределение: $I_m=1$ с вероятностью $p_m$ и $I_m=0$ с вероятностью $1-p_m$. Тогда $Q(n)=\sum_{m \leq n} {I_m}$?

Как Вы собираетесь сделать такое распределение индикаторам, если речь идет о принадлежности к множеству (или обладанию свойством)?

Когда $m \leq n$ удовлетворяет данному свойству, то $I_m=1$, когда нет, то $I_m=0$. Аналогично, как в статье.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1479456 писал(а):

Ну, например. Далее даю фрагмент статьи: пусть имеется семейство независимых случайных величин $X_p$, определенных следующим образом: $X_p=1$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$, где $p$ - простое число. Тогда $\omega(n)=\sum_{p \leq n} {X_p}$.

Это просто неверно.

Вот статья http://algo.inria.fr/seminars/sem96-97/deshouillers.pdf стр.2 Что неверно?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1479460 писал(а):

Когда $m \leq n$ удовлетворяет данному свойству, то $I_m=1$, когда нет, то $I_m=0$. Аналогично, как в статье.

Попробуйте тогда сформулировать, о каком свойстве натуральных чисел речь идет в статье, к чему подходят $X_p$ и почему эти индикаторы определены только для простых чисел.

vicvolf в сообщении #1479460 писал(а):

Вот статья http://algo.inria.fr/seminars/sem96-97/deshouillers.pdf стр.2 Что неверно?

Это доказательство неверно. Не каждая статья в Интернете верна.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479465 писал(а):

vicvolf в сообщении #1479460 писал(а):

Когда $m \leq n$ удовлетворяет данному свойству, то $I_m=1$, когда нет, то $I_m=0$. Аналогично, как в статье.

Попробуйте тогда сформулировать, о каком свойстве натуральных чисел речь идет в статье, к чему подходят $X_p$ и почему эти индикаторы определены только для простых чисел.

Речь идет о количестве простых делителей числа $n$.

Цитата:

vicvolf в сообщении #1479460 писал(а):

Вот статья http://algo.inria.fr/seminars/sem96-97/deshouillers.pdf стр.2 Что неверно?

Это доказательство неверно. Не каждая статья в Интернете верна.

Да, здесь действительно ошибка: $1/p$ - не является вероятностью, так как является асимптотической плотностью.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1479466 писал(а):

Речь идет о количестве простых делителей числа $n$.

Да. Но соответствующего множества $A$ нет, и нет такого набора индикаторов $I_m$ на всем множестве натуральных чисел или на его отрезках. При каждом $n$ свои индикаторы и своя сумма. То есть можно написать $I_{p,n}=$"число $n$ делится на $p$" (имея в виду только простые $p$), тогда $\omega(n)=\sum_{p\le n}I_{p,n}$ (но это практически тавтология).

vicvolf в сообщении #1479466 писал(а):

Да, здесь действительно ошибка: $1/p$ - не является вероятностью, так как является асимптотической плотностью.

Надо еще понять, асимптотической плотностью чего.

[Optimizator]

vicvolf писал(а):

Вот статья http://algo.inria.fr/seminars/sem96-97/deshouillers.pdf стр.2 Что неверно?

Еще, например, при $N=4,5$ индикаторы $X_2$ и $X_3$ не являются независимыми при равновероятном выборе $n$, поскольку $X_2X_3=0$. Поэтому здесь тоже либо ошибка либо много не договорено.

-- 16.08.2020, 18:36 --

alisa-lebovski в сообщении #1479468 писал(а):

Надо еще понять, асимптотической плотностью чего.

$1/p=P\{X_p=1\}$ при $p|N$

[vicvolf]

Optimizator в сообщении #1479473 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1479468 писал(а):

Надо еще понять, асимптотической плотностью чего.

$1/p=P\{X_p=1\}$ при $p|N$

На самом деле $P(X_p=1)= \frac {1}{N}[\frac{N}{p}]$ и $\lim_{N \to \infty} {P(X_p=1)=1/p$.

[alisa-lebovski]

Если делать строго, то так. Пусть $I_p(m)$ - индикатор того, что $m$ делится на $p$. Определим случайные величины $X_{p,n}(m)=I_p(m)$ на отрезках $[1,n]$. Определим cлучайные величины $\omega_n(m)=\omega(m)$ на отрезках $[1,n]$. Отрезки исполняют роль пространства элементарных исходов. Тогда $\omega_n=\sum_{p\le n}X_{p,n}$.