Корректно ли написана формула?

[Vladimir Pliassov]

«Бино́м Нью́то́на — ...

$$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$$

где $\binom {n}{k} = \frac {n!}{k!(n - k)!} = C_n^k$ - биномиальные коэффициенты, $n$ неотрицательное целое число.» (Википедия)


Корректно ли написана эта формула? Я думаю, нет, потому что в средней части равенства, которое она собой представляет, указано, что $k$ может принимать определенные значения (от нуля до $n$), а в правой части сообщается, что, в частности, кроме таких значений как $0, 1$ и $n$, $k$ принимает также значение $k$.

Наверное, правильно будет, например:

$$(a + b)^n = \sum\limits_{m = 0}^n \binom {n}{m} a^{n - m}b^m = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$$

где $\binom {n}{m} = \frac {n!}{m!(n - m)!} = C_n^m$ - биномиальные коэффициенты и т.д., так как в этом случае $m$ принимает, в частности, такие значения как $0, 1$ и $k$?

[Утундрий]

Ловля блох.

[iifat]

$k,m$ в средних формулах — слепые индексы, или как уж они называются. Их на самом деле нет. Впрочем, и в правых тоже. Так что оба варианта абсолютно одинаковы.

[Утундрий]

iifat в сообщении #1479102 писал(а):

слепые индексы, или как уж они называются

Немые.

[mihaild]

Одно и то же. Индекс суммирования связан, и по разные стороны от знака равенства его использования как-то связаны друг с другом быть не обязаны.

[svv]

Одно и то же. И к обоим вариантам та претензия, что в правой части $k$ не определено (определено только в средней). Исправляется уточнением «где в правой части $k$ — некоторое число... ».

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1479156 писал(а):

Индекс суммирования связан, и по разные стороны от знака равенства его использования как-то связаны друг с другом быть не обязаны.

Спасибо. Индекс суммирования в первом варианте $k$, во втором варианте $m$? Что значит, что он "связан"? И почему, оттого, что он связан, "по разные стороны от знака равенства его использования как-то связаны друг с другом быть не обязаны"?

-- 14.08.2020, 16:09 --

svv в сообщении #1479161 писал(а):

Одно и то же. И к обоим вариантам та претензия, что в правой части $k$ не определено (определено только в средней). Исправляется уточнением «где в правой части $k$ — некоторое число... ».

« ... где в правой части $k$ — некоторое целое неотрицательное число от $0$ до $n$»?

Но это уже было сказано в средней части. Если части одного уравнения логически связаны друг с другом (а может ли быть иначе?), то то, что было сказано в одной, должно касаться и другой, разве нет?

[iifat]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479178 писал(а):

Что значит, что он "связан"?

Это означает, что его нет. $\sum\limits_{k=1}^2k$ означает — по определению! — $1+2$. Вы видите в последней формуле $k$? Ну дык его там нет. Как и в первой.

[Vladimir Pliassov]

iifat в сообщении #1479189 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1479178 писал(а):

Что значит, что он "связан"?

Это означает, что его нет. $\sum\limits_{k=1}^2k$ означает — по определению! — $1+2$. Вы видите в последней формуле $k$? Ну дык его там нет. Как и в первой.

То есть $k$ это обобщенное выражение для (в данном случае) $1, 2$, и поэтому говорят, что это выражение "связано"?

Или, если это обобщенное выражение является индексом, то говорят, что этот индекс "связан"?

[EUgeneUS]

Vladimir Pliassov
Считайте символы $\sum\limits_{}^{}$ и $\prod\limits_{}^{}$ операторами цикла for, а индексы - переменными циклов.
Переменная цикла определяется в операторе цикла, и используется внутри цикла. Вне цикла она не существует.

1.
$\sum\limits_{i=1}^{N} \prod\limits_{j=1}^{K} a_{ij}$ - вложенные циклы.
2.
$\sum\limits_{i=1}^{N} a_i + \prod\limits_{i=1}^{K} b_i$ - два последовательно выполняемых цикла. Переменные $i$ разные, в каждом цикле своя.
3. $\sum\limits_{i=1}^{N} \prod\limits_{i=1}^{K} a_{ii}$ - так нельзя.

[Vladimir Pliassov]

EUgeneUS в сообщении #1479210 писал(а):

$\sum\limits_{i=1}^{N} \prod\limits_{j=1}^{K} a_{ij}$ - вложенные циклы.
2.
$\sum\limits_{i=1}^{N} a_i + \prod\limits_{i=1}^{K} b_i$ - два последовательно выполняемых цикла. Переменные $i$ разные, в каждом цикле своя.
3. $\sum\limits_{i=1}^{N} \prod\limits_{i=1}^{K} a_{ii}$ - так нельзя.

1.
Насколько я понял, здесь перемножаются элементы каждой строки матрицы, и затем полученные произведения складываются. Для этого строки и столбцы должны обозначаться разными индексами.
2.
Здесь независимые друг от друга сумма и произведение, так что можно использовать один и тот же индекс, потом полученные результаты сложить.
3.
Здесь берутся диагональные элементы, но с ними ничего не делается, так как имеются в виду бинарные операции (сумма и произведение), но в каждом случае (то есть для каждого отдельно взятого диагонального элемента) имеется только один элемент, и бинарная операция невозможна.

[EUgeneUS]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479227 писал(а):

3.
Здесь берутся диагональные элементы, но с ними ничего не делается, так как имеются в виду бинарные операции (сумма и произведение), но в каждом случае (то есть для каждого отдельно взятого диагонального элемента) имеется только один элемент, и бинарная операция невозможна.

Нет. Здесь повторно определяется индекс $i$, когда это делать нельзя (в месте, где он уже существует и определен). И получается чушь.

Vladimir Pliassov в сообщении #1479227 писал(а):

2.
Здесь независимые друг от друга сумма и произведение, так что можно использовать один и тот же индекс, потом полученные результаты сложить.

ИМХО, правильнее сказать, здесь используются разные индексы, обозначенный одной буквой. Но в данном случае это допустимо.

[Vladimir Pliassov]

EUgeneUS в сообщении #1479232 писал(а):

ИМХО, правильнее сказать, здесь используются разные индексы, обозначенный одной буквой. Но в данном случае это допустимо.

Спасибо.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1479161 писал(а):

Одно и то же. И к обоим вариантам та претензия, что в правой части $k$ не определено (определено только в средней). Исправляется уточнением «где в правой части $k$ — некоторое число... ».

1.
В средней части формулы

$$(a + b)^n = \sum\limits_{m = 0}^n \binom {n}{m} a^{n - m}b^m = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$$

указано, что $m$ принимает значения от $0$ до $n$, при этом имеется в виду, что $m$ целое неотрицательное число.

Значит, в правой части $k$, являясь значением $m$ - так же как и $0, 1, n$, - есть целое неотрицательное число .

2.
В правой части

$$ \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$$

нижние величины , стоящие в скобках, представляют собой восходящий ряд $0, 1, \cdots, k, \cdots, n$, таким образом, $0<k<n$.

Так что можно считать, что $k$ достаточно определено?


Кроме того, особенность правой части формулы в том, что при соответствующем $n$ ее средние члены

$$ \binom {n}{1}a^{n - 1}b , ... , \binom {n}{k} a^{n - k}b^k , ...$$

могут быть не все - при $n=1$ они все исчезают, - поэтому $k$ в этой части может и вовсе не быть .

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1479265 писал(а):

Так что можно считать, что $k$ достаточно определено?

Не нужно ничего такого считать. Это просто такая форма записи. Никакого сакрального смысла в ней нет. Многим такая форма записи нравится и удобна. Если не нравится Вам - не используйте её. Нет причин для споров и разбирательств, что она должна означать.