Выражение одной и той же зависимости через разные функции

[Solaris86]

Вопрос такой: есть ли какой-то способ определить, можно ли данную функцию выразить через другие аргументы, и если способ есть, то как выглядит его алгоритм?
Например, я хочу функцию $f(x) = x$ выразить через через аргумент $e$ (умноженное на что-то, в какой-то степени и т.п.) или наоборот я хочу выразить функцию $g(x) = e^x$ через аргумент $x$.

[pogulyat_vyshel]

а вы не пробовали просто посещать какие-нибудь регулярные занятия по математике? В какой-нибудь средней школе, например?

[gris]

$x=e^{\ln x}$ Ну дополнить сигнумом, нулём и модулем.
Можно привлечь функцию вместе с обратной. Функциональные ряды тоже помогают.

[Solaris86]

pogulyat_vyshel
К сожалению, нет, так как я окончил только начальную школу, а после 4 класса был исключён из школы за неуспеваемость по математике.
gris
Спасибо. А для $g(x)$ тогда будет $e^x = x^{\log_xe^x} = x^{\frac{x}{\ln{x}}}$?

[gris]

я ответил только по названию темы, а сам текст не осилил. непонятно, как его понимать. мне показалось, что это связано с вашей темой про функциональные уравнения. само последнее равенство $e^x=...$ верно на выколотой в единице положительной полуоси, но отвечает ли оно вашим запросам?
вообще есть такая проблема: сужение или расширение области определения в результате преобразований. часто доставляет неприятности.
вот придумал пример: $1=\dfrac {\sqrt x\cdot \sqrt{-x}}{\sqrt x\cdot \sqrt{-x}}$

[Solaris86]

Понятно. Для сохранения прежней области определения надо делать кусочную функцию.

[vpb]

Solaris86 в сообщении #1478597 писал(а):

я хочу функцию $f(x) = x$ выразить через через аргумент $e$

Это желание не имеет смысла. Про выражение одного через другое когда имеет смысл говорить ? Когда есть две (а в общем случае несколько) переменных величин, и оне как-то между собой связаны. Тогда одну из них, иногда, можно считать функцией от другой (а вторую --- функцией от первой, при желании). Например, есть две величины $p$ и $q$, причем они связаны соотношением $p+2q+3=0$. Тогда для каждого $p$ есть ровно одно $q$, удовлетворяющее этому соотношению, а именно $q=(-p-3)/2$. А для каждого $q$ есть ровно одно $p$, а именно $p=-2q-3$. Т.е. тут $q$ --- функция от $p$, а $p$ --- функция от $q$.

При этом, функцию не следует путать с ее выражением формулой. Пусть, скажем, две величины $t$, $z$связаны соотношением $t^5+t-z=0$. Для любого $t$ существует ровно одно $z$, удовлетворяющее этому соотношению, а именно $z=t^5+t$ (это очевидно). Но, оказывается, и для любого $z$ существует ровно одно подходящее $t$. Но это менее очевидно, и "выразить формулой" $t$ через $z$ не получится. Т.е. тут $t$ --- функция от $z$, но выразить ее формулой не выйдет (*).

А когда есть одно конкретное число, то есть $e$, то выразить что-то (скажем, $x$) через него --- не имеет смысла.

---------------------------------------------
(*) разве что через тэта-функции.

-- 12.08.2020, 17:32 --

И еще. Насчет пойти в пятый класс не знаю, но, основы учения о функциональной зависимости можно почитать в
Мордкович, Николаев, Алгебра 9 (пофильный уровень), глава 3
их же Алгебра 7, гл. 7
Мордкович, Семенов, Алгебра и начала анализа 10 (проф. ур), гл. 2
Фихтенгольц, гл.2.

(здесь "почитать" означает освежить и упорядочить имеющиеся понятия по этим вопросам).

[Solaris86]

Благодарю!

[svv]

А вот ещё пример (уж не знаю, чего). Пусть
$f(x)=\frac 1{1-x}$,
где $x\notin\{0,1\}$.
Тогда
$f(f(x))=\frac{x-1}x$,
$f(f(f(x)))=\text{просто}\;x$.

[Solaris86]

svv в сообщении #1478666 писал(а):

А вот ещё пример (уж не знаю, чего).

Я думаю, это полезный пример композиции функций.

[Утундрий]

svv в сообщении #1478666 писал(а):

вот ещё пример (уж не знаю, чего)

Иллюстрация тезиса "Если что-то куда-то подставлять, то что-нибудь получится"?

[svv]

Ну, ok, это был простой пример $f\circ f\circ f=\operatorname{id}$ при $f\neq \operatorname{id}$.

[nnosipov]

svv в сообщении #1478691 писал(а):

это был простой пример

Есть еще проще (в классе линейных функций, но, правда, с комплексными коэффициентами). А в классе дробно-линейных функций таких примеров вагон и маленькая тележка целое 2-параметрическое семейство.

[svv]

Ага, $f(x)=e^{\pm\frac{2\pi i}{3}} x$.