Лемма к Малой теореме Ферма

[Vladimir Pliassov]

В Википедии имеется статья "Малая теорема Ферма" и в ней доказательство следующей леммы.

"Лемма. Для любого простого числа $p$ и целого числа $k$, не кратного $p$, произведения $k$ и чисел $1,2,3,\ldots ,p-1$ при делении по модулю на $p$ в остатке дают те же самые числа $1,2,3,\ldots ,p-1$, возможно, записанные в некотором другом порядке.

Доказательство леммы.
Произведение $k$ и любого из чисел $1,2,3,\ldots ,p-1$ не кратно $p$, следовательно, в остатке не может получиться $0$. Все остатки разные. Докажем последнее утверждение от противного. Пусть два произведения $ak$ и $bk$ дают при делении на $p$ одинаковые остатки, тогда разность $ak-bk=(a-b)k$ кратна $p$, что невозможно, поскольку $a-b$ не кратно $p$. Всего существует $p-1$ различных ненулевых остатков от деления на $p$."

Вероятно, в доказательстве имеется в виду, что $a,b\in \{1,2,3,\ldots ,p-1\}$, и, кроме того, $a \ne b$?

И еще, в формулировке леммы стоит " при делении по модулю на $p$". Почему не написать просто " при делении на $p$"?

[kotenok gav]

Vladimir Pliassov в сообщении #1478362 писал(а):

Вероятно, в доказательстве имеется в виду, что $a,b\in \{1,2,3,\ldots ,p-1\}$, и, кроме того, $a \ne b$?

Ну, да.

Vladimir Pliassov в сообщении #1478362 писал(а):

И еще, в формулировке леммы стоит " при делении по модулю на $p$". Почему не написать просто " при делении на $p$"?

Ну, это небольшая ошибка, поправьте там.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!