Функциональные уравнения

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478341 писал(а):

У нас нет никаких множеств (ну, за исключением $R$).

То есть у Фихтенгольца написано неверно?

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1478338 писал(а):

Ну, наверно, он исходит из предположения, что читатель имеет как минимум неполное среднее образование и учебник по алгебре за 6 класс (или какой теперь начинает алгебру изучать?) прочёл.

Понятие функциональной зависимости --- это все-таки 9-й класс (по старой советской системе).

[kotenok gav]

Верно. Но мы сейчас обсуждали не это.

[Solaris86]

Mikhail_K и Евгений Машеров
Я понял про обозначение функции и аргумента.
Но для меня остаётся неясным, что всё-таки хочет сказать Фихтенгольц. Вот есть у нас аргумент, обозначенный $x$. Дальше появляется аргумент $y$. Вопрос: что произошло?
Вариант 1: аргумент $x$ принял значение, равное $y$: $x = y$.
Вариант 2: аргумент просто переобозначили другой буквой: вместо буквы $x$ взяли букву $y$.
Какой вариант верен в данном случае?

-- 11.08.2020, 11:50 --

kotenok gav в сообщении #1478346 писал(а):

Верно. Но мы сейчас обсуждали не это.

Извините, но по вашим ответам, уровень краткости которых даже превосходит уровень краткости Фихтенгольца, я не могу понять, что вы хотите сказать.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478348 писал(а):

Какой вариант верен в данном случае?

Между ними нет разницы.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1478348 писал(а):

Но для меня остаётся неясным, что всё-таки хочет сказать Фихтенгольц. Вот есть у нас аргумент, обозначенный $x$. Дальше появляется аргумент $y$. Вопрос: что произошло?
Вариант 1: аргумент $x$ принял значение, равное $y$: $x = y$.
Вариант 2: аргумент просто переобозначили другой буквой: вместо буквы $x$ взяли букву $y$.

Это Вы сейчас про какой фрагмент из Фихтенгольца?
Если про тот, который в самом первом сообщении, то там спрашивается вот что: найти все функции $f$ (то есть все законы, которые каждому аргументу ставят в соответствие какое-то своё значение), такие что
$\forall x,y\in\mathbb{R},\,f(x+y)=f(x)+f(y)$,
то есть такие, что если подставить в эту функцию любые два числа $x$ и $y$ и результаты сложить, то получится то же самое, как если бы мы сначала сложили два числа, а потом подставили сумму в эту функцию. (Ну и ещё сказано, что интересуют только непрерывные функции.)

Возможно, было бы лучше и понятнее, если бы Фихтенгольц писал "найти все непрерывные функции $f$, такие что...", а не "найти все непрерывные функции $f(x)$, такие что...".
Хотя это одно и то же, но в первой форме записи подчёркивается, что функции безразлично, как обозначен её аргумент. В функцию можно подставлять что угодно - хоть $x$, хоть $y$, хоть $x+y$ - что и делается дальше.

[Евгений Машеров]

Solaris86 в сообщении #1478334 писал(а):

Хорошо. Пусть есть множество значений аргумента $A$ и есть множество значений функции $F$.
Запись $f(x)$ означает: $x \in A$, $f(x) \in F$.
Запись $f(y)$ означает: $y \in A$, $f(y) \in F$.

Это не ошибочное утверждение, а всего лишь тавтологичное и бессодержательное. Вторая и третья строчки повторяют первую другими словами (а третья совпадает со второй с точностью до тривиальной замены символа).
Сказать что-либо о функции мы не можем. Мы не способны сказать, какое значение примет функция при данном значении аргумента. Мы даже не знаем, каковы значения аргумента, которые мы вправе подставлять, и какие значения может принять функция.
У Вас не главного, "правила или закона", по которому связаны аргумент и функция.

-- 11 авг 2020, 12:20 --

nnosipov в сообщении #1478345 писал(а):

Понятие функциональной зависимости --- это все-таки 9-й класс (по старой советской системе).

Строгое введение - да. Но чтобы шестиклассник, изучающий алгебру, не понимал смысла слова "функция" на интуитивном уровне...

[EUgeneUS]

Solaris86
Возможно, Вас путает то, что традиционно буквами $x$, $y$ обозначаются разные переменные. Тогда как, в данном отрывке речь идет о разных значениях аргумента функции $f(x)$.
Попробуйте прочитать\переписать текст из Фихтенгольца, используя $x_1$ и $x_2$. То есть нам нужно найти все непрерывные на промежутке $(-\infty, \infty)$ функции $f(x)$, такие что $f(x_1+x_2) = f(x_1) + f(x_2)$, каковы бы не были значения $x_1$ и $x_2$.

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1478354 писал(а):

Возможно, было бы лучше и понятнее, если бы Фихтенгольц писал "найти все непрерывные функции $f$, такие что...", а не "найти все непрерывные функции $f(x)$, такие что...".
Хотя это одно и то же, но в первой форме записи подчёркивается, что функции безразлично, как обозначен её аргумент. В функцию можно подставлять что угодно - хоть $x$, хоть $y$, хоть $x+y$ - что и делается дальше.

В общем, если я правильно вас понял, Фихтенгольц в том первом фрагменте под $x$ и $y$ понимает просто конкретные числовые значения аргумента и всё?
Тогда, на более понятном мне языке, где конкретные числовые значения функции аргумента $x$ обозначены как $x_1$ и $x_2$, а не $x$ и $y$ (вызвавшие у меня непонимание и путаницу), получается так:
$f(x) = cx$
$f(x_1) = cx_1$
$f(x_2) = cx_2$
$f(x_1 + x_2) = c(x_1+x_2) = cx_1+cx_2 = f(x_1) + f(x_2)$

-- 11.08.2020, 12:50 --

EUgeneUS в сообщении #1478360 писал(а):

Возможно, Вас путает то, что традиционно буквами $x$, $y$ обозначаются разные переменные. Тогда как, в данном отрывке речь идет о разных значениях аргумента функции $f(x)$.

Именно так!

-- 11.08.2020, 13:01 --

Евгений Машеров в сообщении #1478355 писал(а):

Это не ошибочное утверждение, а всего лишь тавтологичное и бессодержательное. Вторая и третья строчки повторяют первую другими словами (а третья совпадает со второй с точностью до тривиальной замены символа).
Сказать что-либо о функции мы не можем. Мы не способны сказать, какое значение примет функция при данном значении аргумента. Мы даже не знаем, каковы значения аргумента, которые мы вправе подставлять, и какие значения может принять функция.
У Вас не главного, "правила или закона", по которому связаны аргумент и функция.

Этими утверждениями я пытался для себя выяснить, из каких множеств переменные и всё. Я думал на тот момент, что $x$ и $y$ - это разные аргументы из разных множеств, а если они из одного множества, тогда уже становится ясно, что под $x$ и $y$ понимаются какие-то конкретные элементы этого множества, а поскольку множество $\mathbb{R}$ - это множество вещественных чисел, что то под $x$ и $y$ понимаются какие-то вещественные числа.
Можете и тут написать, что я написал очевидный примитив и отправить меня в первый класс, когда начинают изучать числа, но этот примитив заполняет имеющиеся пробелы за всё время изучения мной математики, начиная с первого класса и заканчивая сегодняшним днём. Возможно, я слишком туп по вашим меркам, но ничего не поделать, стараюсь как могу.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1478361 писал(а):

В общем, если я правильно вас понял, Фихтенгольц в том первом фрагменте под $x$ и $y$ понимает просто конкретные числовые значения аргумента

Ну да; но требуется, чтобы равенство $f(x+y)=f(x)+f(y)$ было справедливо для любых конкретных числовых значений $x$ и $y$.

Solaris86 в сообщении #1478361 писал(а):

Тогда, на более понятном мне языке, где конкретные числовые значения функции аргумента $x$ обозначены как $x_1$ и $x_2$, а не $x$ и $y$ (вызвавшие у меня непонимание и путаницу), получается так:
$f(x) = cx$
$f(x_1) = cx_1$
$f(x_2) = cx_2$
$f(x_1 + x_2) = c(x_1+x_2) = cx_1+cx_2 = f(x_1) + f(x_2)$

Да, верно.

[FEBUS]

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

... пусть есть функции $f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$, как вычислить, чему равно $f(x+y)$?

Правильно так:
есть функции $\; f(x) = 4x$ и $\; g(x) = 2x$.
Тогда,
$\; f(x+y) = 4(x+y)$ и $\; g(x+y) = 2(x+y) $.

[Solaris86]

FEBUS в сообщении #1478367 писал(а):

Правильно так:
есть функции $\; f(x) = 4x$ и $\; g(x) = 2x$.
Тогда,
$\; f(x+y) = 4(x+y)$ и $\; g(x+y) = 2(x+y) $.

А что насчёт варианта:
$f(x) = 4x$ и $g(y) = 2y$
$f(x+y) = 4(x+y) = 4x + 4y = f(x) + 2g(y)$
$g(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2 y = \frac{1}{2}f(x) + g(y)$?

-- 11.08.2020, 13:32 --

В общем, всем спасибо за разъяснения!

Mihr в сообщении #1478315 писал(а):

Solaris86, если Вам реально интересно. Для первоначального знакомства с темой "функциональные уравнения", по-моему, хорошо подойдёт вот эта книга: Лихтарников Л.М. - Элементарное введение в функциональные уравнения [1997, DjVu, RUS]. На мой взгляд, она написана очень понятно. И вообще, педагогически удачно. Не очень большая - всего 160 страниц. При этом с большим количеством примеров и с задачами для самостоятельного решения. Рекомендую хотя бы взглянуть на неё.

Отдельное спасибо за книгу, уже начал изучать!

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1478368 писал(а):

А что насчёт варианта:
$f(x) = 4x$ и $g(y) = 2y$
$f(x+y) = 4(x+y) = 4x + 4y = f(x) + 2g(y)$
$g(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2 y = \frac{1}{2}f(x) + g(y)$?

Здесь всё верно.

[EUgeneUS]

Solaris86
Вот это:

Mikhail_K в сообщении #1478364 писал(а):

требуется, чтобы равенство $f(x+y)=f(x)+f(y)$ было справедливо для любых конкретных числовых значений $x$ и $y$.

можно проиллюстрировать, если подставить функции, одна из которых которая является решением, а другая не является решением.
1. Подставляем $f(x) = cx$, подставляем сразу в правую и левую части:
$f(x_1+x_2) = f(x_1)+f(x_2)$
$c(x_1+x_2) = cx_1 + cx_2$
$0 \equiv 0$
Получили тождественное равенство, которое не зависит от $x_1$ и $x_2$, то есть выполняется при их любых значениях. Эта функция - решение функционального уравнения.

2. Подставляем $f(x) = cx^2$, подставляем сразу в правую и левую части:
$f(x_1+x_2) = f(x_1)+f(x_2)$
$c(x_1+x_2)^2 = cx_1^2 + cx_2^2$
$x_1x_2 = 0$
Получили равенство, которое выполняется только при некоторых значениях $x_1$ и $x_2$. Значит эта функция не является решением функционального уравнения.