Функциональные уравнения

[Solaris86]

Из 1го тома Фихтенгольца:

Я пока не очень уверен в этой теме. Поясню на примере.
Пусть есть функция $f(x) = 3x$.
Тогда:
1) для вычисления $f(x-1)$ делаем подстановку в $f(x)$, заменяя $x$ на $x-1$: $f(x-1) = 3(x-1) = 3x-3 = f(x)-3$
2) для вычисления $f(2x)$ делаем подстановку в $f(x)$, заменяя $x$ на $2x$: $f(2x) = 3(2x) = 6x = 2(3x) = 2f(x)$
Это вроде ясно.
Далее: пусть есть функции $f(x) = 3x$ и $f(y) = 3y$, тогда:
1) для вычисления $f(x+y)$ делаем подстановку в $f(x)$, заменяя $x$ на $x+y$: $f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x)+f(y)$
или
2) для вычисления $f(x+y)$ делаем подстановку в $f(y)$, заменяя $y$ на $x+y$: $f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x)+f(y)$
Вопросы:
1) пусть есть функции $f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$, как вычислить, чему равно $f(x+y)$?
Спрашиваю, потому что при попытке подстановок как в примерах выше не получается однозначного результата:
- при замене $x$ на $x+y$ в $f(x)$ получаем: $f(x+y) = 4(x+y) = 4x + 4y = f(x) + 2f(y)$;
- при замене $y$ на $x+y$ в $f(y)$ получаем: $f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = \frac{1}{2}f(x) + f(y)$;
2) как связаны между собой графики функций $f(x)$, $f(y)$ и $f(x+y)$? Если предположить, что речь о именно трёхмерном пространстве, тогда получаем такие уравнения: $z(x) = f(x) = 3x$, $z(y) = f(y) = 3y$, $z(x,y) = f(x+y) = f(x) + f(y) = 3x + 3y$ и такие графики:

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

$f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$

Это невозможно если $x$ и $y$ - любые переменные.

[nnosipov]

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

пусть есть функции $f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$

Подставим $x=1$ (в первую формулу) и $y=1$ (во вторую). Все хорошо? Похоже, Вы не очень понимаете, что такое функция.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

1) для вычисления $f(x-1)$ делаем подстановку в $f(x)$, заменяя $x$ на $x-1$: $f(x-1) = 3(x-1) = 3x-3 = f(x)-3$
2) для вычисления $f(2x)$ делаем подстановку в $f(x)$, заменяя $x$ на $2x$: $f(2x) = 3(2x) = 6x = 2(3x) = 2f(x)$

Зачем тут последний переход в обоих пунктах?

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478307 писал(а):

Это невозможно если $x$ и $y$ - любые переменные.

В каком смысле "любые"?

nnosipov в сообщении #1478308 писал(а):

Подставим $x=1$ (в первую формулу) и $y=1$ (во вторую). Все хорошо? Похоже, Вы не очень понимаете, что такое функция.

Подставим. $f(x=1) = 4$, $f(y=1) = 2$. Что тут не так? И в чём моё непонимание, что такое функция?

-- 11.08.2020, 10:27 --

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

1) пусть есть функции $f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$, как вычислить, чему равно $f(x+y)$?
Спрашиваю, потому что при попытке подстановок как в примерах выше не получается однозначного результата:
- при замене $x$ на $x+y$ в $f(x)$ получаем: $f(x+y) = 4(x+y) = 4x + 4y = f(x) + 2f(y)$;
- при замене $y$ на $x+y$ в $f(y)$ получаем: $f(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y = \frac{1}{2}f(x) + f(y)$;

Вот мои попытки вычислить $f(x+y)$.

[pogulyat_vyshel]

Без требования непрерывности куда веселее

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478309 писал(а):

Зачем тут последний переход в обоих пунктах?

Для явного выражения новой функции через исходную функцию.

[Евгений Машеров]

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

пусть есть функции $f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$, как вычислить, чему равно $f(x+y)$?

У Вас одной буквой обозначены две разные функции. Не то, чтобы нельзя было разные функции обзывать одинаковыми буквами, но если это делать, то так, чтобы не возникало неясности, какая именно функция понимается под $f(x)$
Если Вы введёте для них разные обозначения ($f(x)$ и $g(x)$ или, скажем, $f_1(x)$ и $f_2(x)$), то неопределённости в вопросе "что за функция имеется в виду в $f(x+y)$" малость поменьшает.

[Mihr]

Solaris86, если Вам реально интересно. Для первоначального знакомства с темой "функциональные уравнения", по-моему, хорошо подойдёт вот эта книга: Лихтарников Л.М. - Элементарное введение в функциональные уравнения [1997, DjVu, RUS]. На мой взгляд, она написана очень понятно. И вообще, педагогически удачно. Не очень большая - всего 160 страниц. При этом с большим количеством примеров и с задачами для самостоятельного решения. Рекомендую хотя бы взглянуть на неё.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478310 писал(а):

В каком смысле "любые"?

Я прямом.

Solaris86 в сообщении #1478310 писал(а):

Подставим. $f(x=1) = 4$, $f(y=1) = 2$

Что значит $f(x=1)$?

[nnosipov]

Solaris86 в сообщении #1478310 писал(а):

Подставим. $f(x=1) = 4$, $f(y=1) = 2$. Что тут не так? И в чём моё непонимание, что такое функция?

О, как все плохо-то. Рановато Вам пока эту теорему из Фихтенгольца читать. Освойтесь сначала с понятием функции.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478312 писал(а):

Для явного выражения новой функции через исходную функцию.

Зачем? Оно вам надо?

[Solaris86]

Евгений Машеров в сообщении #1478313 писал(а):

У Вас одной буквой обозначены две разные функции. Не то, чтобы нельзя было разные функции обзывать одинаковыми буквами, но если это делать, то так, чтобы не возникало неясности, какая именно функция понимается под $f(x)$

Если Вы введёте для них разные обозначения ($f(x)$ и $g(x)$ или, скажем, $f_1(x)$ и $f_2(x)$), то неопределённости в вопросе "что за функция имеется в виду в $f(x+y)$ малость поменьшает)
Вот оно что. Понял. Однако я просто повторил обозначение, которое используется в учебнике Фихтенгольца. Почему тогда он использует одинаковые буквы и при этом не возникает неясности?
Или одинаковые буквы можно использовать, только если $f_1(x+y) = f_2(x+y)$ и тогда обозначить обе просто через $f(x+y)$?

[kotenok gav]

Чё-т мне вспоминается анекдот "обозначим две разные величины одной буквой"... Это я к чему клоню. Вы понимаете, что одной буквой обозначаются одни и те же функции?

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478316 писал(а):

Что значит $f(x=1)$?

Я так обозначил, чтобы не было путаницы $f(x)$ при $x = 1$ и $f(y)$ при $y = 1$, так как они обе буду выглядеть как $f(1)$.

nnosipov в сообщении #1478317 писал(а):

О, как все плохо-то.

Что плохо? Говорите конкретнее и по существу. Я выше написал, для чего ввёл в этой ситуации такие неправильные обозначения.
Могу так написать: $f(x)_{x=1} = 4$ и $f(y)_{y=1} = 2$