Задача на ЗСИ

[Arshtm]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста разобраться с задачей:
На столе покоятся два одинаковых шарика массой $m$ каждый, скрепленные невесомой пружиной длина которой $l$, а жесткость $k$. Одному из шариков сообщили ударом скорость $v$ в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей их центры. Определите эту скорость, если известно, что при движении шариков пружина растягивалась до максимальной длины, равной $L$. Трением пренебречь.

Насколько я понимаю, надо перейти в систему центра масс и написать законы сохранения энергии и импульса:
$\frac{mv^2}{2} = \frac{k(L-l)^2}{2}+mv'^2$ - ЗСЭ
и $m\vec{v} = 2m\vec{v'}$ - ЗСИ
при этом очевидно, что $v'$ не может быть направлена куда-либо, кроме как туда же куда и $v$, вниз, например. Однако в ответ должен быть $v = L(L-l)\sqrt{\frac{2k}{m(L^2-l^2)}}$, где я ошибаюсь в своем рассуждении?

[Pphantom]

Во-первых, у вас какие-то странные отношения с двойками. Во-вторых, в системе центра масс ценность закона сохранения импульса невелика - по его итогам при аккуратных выкладках вы получите что-нибудь вроде $0=0$. Ну и наконец, подумайте, как будет выглядеть движение шариков? Ни на какие мысли по поводу законов сохранения это не наводит?

[Arshtm]

Pphantom в сообщении #1478171 писал(а):

Во-первых, у вас какие-то странные отношения с двойками. Во-вторых, в системе центра масс ценность закона сохранения импульса невелика - по его итогам при аккуратных выкладках вы получите что-нибудь вроде $0=0$. Ну и наконец, подумайте, как будет выглядеть движение шариков? Ни на какие мысли по поводу законов сохранения это не наводит?

Вроде, не очень странные, я просто учла, что шариков два и масса у них общая $2m$.
Про характер движения, мне кажется, что шарик, который получил удар, должен сместиться вниз до тех пор, пока пружина не растянется до $L$, затем центр масс системы будет двигаться прямолинейно вниз, а сами шарики, возможно начнут вращаться, тогда, наверно, будет сохраняться момент импульса. Моя проблема как раз в том, что я не до конца понимаю характер движения всей системы.

[svv]

Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):

шариков два и масса у них общая $2m$.

Импульс — векторная величина.

Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):

сами шарики, возможно начнут вращаться, тогда, наверно, будет сохраняться момент импульса

Именно.

Надо начать с правильной записи всех трёх законов сохранения в системе ЦМ (закон сохранения импульса — только для контроля, что Вы всё правильно понимаете, на этом его роль и закончится).

[Arshtm]

svv в сообщении #1478174 писал(а):

Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):

шариков два и масса у них общая $2m$.

Импульс — векторная величина.

Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):

сами шарики, возможно начнут вращаться, тогда, наверно, будет сохраняться момент импульса

Именно.

Надо начать с правильной записи всех трёх законов сохранения в системе ЦМ (закон сохранения импульса — только для контроля, что Вы всё правильно понимаете, на этом его роль и закончится).

да, тут вы правы, туплю дико, сто лет такого не решала)
в таком случае, ЗСИ:
$m\vec{v}= m\vec{v}_1+m\vec{v}_2$, где $\vec{v}_1$ скорость шара, которому придали скорость, $\vec{v}_2$ - скорость изначально покоящегося, горизонтальные составляющие будут равны по модулю, но противоположны по направлению и в сумме дадут ноль, а вертикальные в сумме дают начальную $\vec{v}$, проекции будут меняться, т.к. система вращается, но общий импульс и момент импульса сохранятся.
Закон сохранения момента импульса:
$mlv = \frac{mL^2}{4}\omega+\frac{mL^2}{4}\omega = \frac{mL^2}{2}\omega = \frac{mLv'}{2}$
т.е. $v' = \frac{l}{2L}v$
вот тут я путаюсь относительно какой оси его надо считать, хочется постоянно относительно середины пружины, но как-то странно это для начального момента, потому что пружина сама начинает двигаться относительно еще покоящегося шарика
в закон сохранения энергии тогда надо еще добавить энергию вращательного движения и получится:
$\frac{mv^2}{2} = \frac{k(L-l)^2}{2}+ \frac{2mv'^2}{2}+2\frac{I\omega^2}{2}$
где $\frac{I\omega^2}{2} = \frac{mv'^2}{4}$ т.к. $I=\frac{mL^2}{4}$
в ответе тогда $v=L(L-l)\sqrt{\frac{k}{L^2-3l^2}}$ что похоже, но где-то я вру опять.

[Mihr]

Arshtm, по-видимому, предполагается, что следует рассматривать шарик как материальную точку. То есть, пренебречь тем, что в процессе движения он поворачивается. Тогда из закона сохранения энергии и закона сохранения момента импульса получается указанный Вами ответ.
Достаточно рассмотреть движение лишь одного шарика в СО, связанной с центром масс системы. (Движение второго - центрально симметрично движению первого). Да, ещё нужно сообразить, что в момент максимальной деформации пружины радиальная скорость шарика обращается в ноль, а значит у скорости остаётся лишь тангенциальная составляющая (поперёк радиус-вектора, проведённого из центра масс системы). Попробуйте так. Получаются несложные уравнения, из которых следует нужный Вам ответ.

[pogulyat_vyshel]

Найти максимальную по модулю скорость при заданной начальной было бы чуть веселее

[Arshtm]

Тааак... в итоге все получается, если перейти в систему связанную с центром масс, относительно нее в момент максимального растяжения скорость будут направлены в противоположные стороны перпендикулярно пружине и тогда закон сохранения момента импульса можно записать как
$2\frac{mv}{2}\frac{l}{2} = 2mu\frac{L}{2}$
$u = \frac{vl}{2L}$
тогда если подставить в закон сохранения энергии:
$\frac{2m(v/2)^2}{2} = \frac{2mu^2}{2}+\frac{k(L-l)^2}{2}$
то получается нужный ответ $v = L(L-l)\sqrt{\frac{2k}{m(L^2-l^2)}$
но выглядит это все как-то неоч, имхо

[Mihr]

(Оффтоп)

Arshtm в сообщении #1478209 писал(а):

но выглядит это все как-то неоч

Тогда извините. Помочь Вам решить задачу здесь смогут. А вот переделать мир так, чтобы Вам понравилось... С этим, по-видимому, будут некоторые проблемы.