Произведение множеств

[popique]

Уважаемые форумчане, позвольте привести здесь два весьма наивных и для просвещенного взгляда возможно топорных вопроса. Прошу заранее извинить.

1. Визуальное представление объединения множеств и суммы семейства множеств интуитивно очень наглядно и вполне согласуется с арифметической операцией сложения - слияние двух кружочков в диаграмме Венна выглядит вполне логично. Но при этом пересечение множеств и произведение (не декартово, $x\in\bigcap\limits_{t}^{}Ft\equiv$ $\wedge t$ ($x\in Ft$)) семейства множеств - тут я затрудняюсь сопоставить их с операцией умножения, ведь даже визуально участок пересечения двух кружочков, в котором содержатся элементы, принадлежащие обоим множествам, выглядит меньше чем сами кружочки. Звучит смешно конечно, но визуально не могу сопоставить эти две концепции.

2. Обычно исходные множества декартова произведения представляют в виде одномерных осей. Но что будет, если исходные множества представить в виде двух плоских множеств? Декартов куб (абсурд)? Декартово плоское облако? На что будет похоже декартово произведение таких множеств? Плоские множества следует рассматривать именно как множества (совокупности элементов на плоскости или россыпь элементов если угодно), а не как декартовы произведения. В таком случае их произведение должно составить именно декартово произведение (плоскость). Только как она выглядит и где располагается?
Прошу уточнить, справедливо ли полагать, что декартово произведение не является произведением булеанов множеств, но при этом является подмножеством этого произведения?

[alisa-lebovski]

Цитата:

тут я затрудняюсь сопоставить их с операцией умножения, ведь даже визуально участок пересечения двух кружочков, в котором содержатся элементы, принадлежащие обоим множествам, выглядит меньше чем сами кружочки.

Представьте, что это умножение чисел от 0 до 1.

[popique]

Согласен, если считать всю совокупность чисел находящейся в интервале от 0 до 1 (универсума). Но если взять тривиальный пример $2\times3=6$?

[Евгений Машеров]

А Вы представьте множество, как массив чисел, которые показывают, принадлежит ли данных элемент универсума множеству. Естественно кодировать "не принадлежит" нулём, а для кодирования принадлежности - любое ненулевое число. Тогда пересечение двух множеств можно получить, поэлементно перемножив массивы, их задающие. И объединение через сложение тоже выходит (только надо потребовать, чтобы код для "принадлежит" был бы положителен).
Ну, или иначе поясню. Множество - некая часть универсума. Доля. А произведение правильных дробей число, меньшее сомножителей.

-- 06 авг 2020, 10:25 --

popique в сообщении #1477554 писал(а):

Прошу уточнить, справедливо ли полагать, что декартово произведение не является произведением булеанов множеств, но при этом является подмножеством этого произведения?

Нет. Декартово произведение - множество упорядоченных пар элементов. Булеан - множество подмножеств. Как бы ни понимать "произведение булеанов", как декартово произведение булеанов (какая рекурсия интересная!), или как пересечение булеанов - не получится.

[popique]

Тут возможно играет роль прочно засевшее во мне ощущение большей массивности что-ли произведения по сравнению с суммой.

[Someone]

popique в сообщении #1477554 писал(а):

Обычно исходные множества декартова произведения представляют в виде одномерных осей. Но что будет, если исходные множества представить в виде двух плоских множеств?

Получите четырёхмерную фигуру. Оно Вам надо? Ограничьтесь промежуточным случаем: произведением плоского множества на отрезок.

popique в сообщении #1477554 писал(а):

Визуальное представление объединения множеств и суммы семейства множеств интуитивно очень наглядно и вполне согласуется с арифметической операцией сложения

Аналогия с арифметическими операциями опасна, так как операции объединения и пересечения множеств обладают другими свойствами, чем операции сложения и умножения чисел, и между ними нет прямой связи.

[Евгений Машеров]

popique в сообщении #1477600 писал(а):

Тут возможно играет роль прочно засевшее во мне ощущение большей массивности что-ли произведения по сравнению с суммой.

А мне тут вспоминается байка про испанского средневекового математика, на которого донесли в Инквизицию, поскольку он учил умножать на дроби, а в Библии "умножить" везде в смысле "увеличить".

[VAL]

Евгений Машеров в сообщении #1477646 писал(а):

А мне тут вспоминается байка про испанского средневекового математика, на которого донесли в Инквизицию, поскольку он учил умножать на дроби, а в Библии "умножить" везде в смысле "увеличить".

Байку не слышал. Но конкретный факт в подтверждение знаю.
В XVI веке Джона Ди привлекли к суду за занятия математикой.
Ди занимался еще и алхимией, и астрологией, и вечным двигателем.
Но криминалом сочли именно математику.