Это очень просто. Покажем, что обратимые элементы (точнее вычеты взаимно простые с n) кольца Z/nZ образуют группу. Для этого берём произвольный взаимно простой с n элемент x и расмотрим последовательные степени по модулю n. Они все взаимно просты с n, следовательно среди n таких найдутся два равных. Отсюда получается, что некоторая степень равна 1 по модулю n, т.е. для каждого х имеется обратный. Другие аксиомы теории групп относительно вычетов тривиальны. Отсюда следует (теорема Лежандра), что:
.
