Среднее степенное

[Solaris86]

Обобщённая формула среднего степенного выглядит так:
$A_d(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \sqrt[d]{\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i^d}{n}}$
Вопросы:
1. Я правильно понимаю, что $d \in (-\infty;+\infty)$?
2. Есть ли у средних отрицательных степеней с $d = -2$, $d = -3$ и $d = -4$ своих названия по аналогии с соответствующими положительными степенями (как это есть для среднего гармонического ($d = -1$) и среднего арифметического ($d = 1$)): средним степени $d = 2$ - среднее квадратичное, средним степени $d = 3$ - среднее кубическое и средним степени $d = 4$ - среднее биквадратическое?
4. Как доказать, что $A_0(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \lim\limits_{d \rightarrow 0}A_d(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \lim\limits_{d \rightarrow 0}\sqrt[d]{\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_i^d}{n}} = \sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^nx_i}$?
5. Как доказать, что $A_{+\infty}(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \lim\limits_{d \rightarrow +\infty}A_d(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \max \left \{x_1, x_2, x_3, ... , x_n \right \}$?
6. Как доказать, что $A_{-\infty}(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \lim\limits_{d \rightarrow -\infty}A_d(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = \min \left \{x_1, x_2, x_3, ... , x_n \right \}$?

[alisa-lebovski]

4. Использовать $x^d=e^{d\ln x}=1+d\ln x+o(d)$, $d\to 0$.
5, 6. Вынести максимум или минимум за корень и посмотреть, что с оставшимися.

Кстати, нужно было написать условие, что все $x_i>0$.

[kotenok gav]

1. Да.
2. Нет.

[svv]

3.

[Solaris86]

alisa-lebovski в сообщении #1477473 писал(а):

$x^d=e^{d\ln x}=1+d\ln x+o(d)$, $d\to 0$.

Как получилась это равенство $e^{d\ln x}=1+d\ln x+o(d)$?

[Eule_A]

Это начало формулы Тейлора для экспоненты.

[Solaris86]

svv в сообщении #1477493 писал(а):

3.

Цифру 3 я пропустил... Однако потом подумал, что для этой цифры можно поставить вопрос о связи формулы среднего с формулой среднего Колмогорова, однако до формулы Колмогорова я пока не дорос...

Всем спасибо за разъяснения!

[vpb]

Solaris86
Есть такой прием по въезжанию в какое-либо утверждение: взять очень маленький и очень частный случай, и сосредоточить на этом случае свои умственные усилия. Например, в данном случае взять $n=2$, $x_1=1$, $x_2=2$, и доказать, что предел $(1^d+2^d)^{1/d}$ при $d\rightarrow +\infty$ равен $2$, а при $d\rightarrow -\infty$ --- $1$.

[novichok2018]

Среднее Колмогорова -лучше называть, если хотите исторической точности, именами всех создателей этой небольшой теории: Колмогорова-Нагумо- де Финетти. Про них можно посмотреть в книге по неравенствам Харди, Литтвульд, Пойа. Ничего там сложного нет. Просто степени в определении степенного среднего заменяются на пару произвольных взаимно обратных функций. К сожалению, если потребовать от таких средних выполнения естественных свойств (например, однородности), то они немедленно опять превращаются в обычные средние, о чём и говорят теоремы Колмогорова-Нагумо- де Финетти.
Про средние и их применения в неравенствах порекомендую текст:
https://arxiv.org/abs/1012.3864
Там только обёртка на английском, текст на русском.

[pogulyat_vyshel]

При $d\in[1,\infty]$ $A_d$ это с точностью до умножения на константу просто норма пространства $\ell_p$. При $d\ge 0$ эти вещи обсуждаются в учебнике анализа Лорана Шварца (да и в любом приличном учебнике анализа) с выводом соответвующих неравенств и тп. Случай $d<0$ сводится к перечисленным.

[novichok2018]

В книге Беккенбах-Беллман Неравенства в первой главе приведён вывод частных случаев (очевидный), который тут обсуждался, если нужна ссылка. Кстати, там же указано и на различие с точки зрения неравенств таких казалось бы похожих величин как среднего и нормы, у них разные свойства монотонности и выпуклости (см. также комментарии к первой главе книги).