Рост популяции коров Нараяны, которые не бессмертны

[maximkarimov]

Фермер купил 1 новорожденную корову, которая начиная с 4-х летнего возраста приносит приплод в размере 2-х коров ежегодно.
Какое количество коров будет у фермера на n-году владения стадом, если каждая корова живет 8 полных лет?

[svv]

Успевает ли несчастная корова, достигнув 8-летнего возраста, в последний раз принести приплод?

[maximkarimov]

Еще как успевает - у нее ведь целый год до того, как копыта откинуть!)

[Утундрий]

Коровы Нараяны размножаются почкованием?

[maximkarimov]

Юным (и не очень!) натуралистам скажем так: бык-производитель арендуется у соседа, а всех бычков, которые всемя от времени рождаются сверх телочек, фермер употребляет в виде различных мясных блюд, поскольку, в отличие от Нараяны, не индус!)

-- 03.08.2020, 18:48 --

Если эта задачка для Вас слишком проста прошу чуть обождать - далее будет еще один параметр на систему "фермер-корова", а также "обратная" задача, решение которой весьма нетривиально.

[wrest]

maximkarimov в сообщении #1477127 писал(а):

Какое количество коров будет у фермера на n-году владения стадом, если каждая корова живет 8 полных лет?

Тест (для меня) на понимание условий. Корова дает приплод по 2 новых коровы на 4,5,6,7 и 8 году жизни -- итого в течение жизни даёт 10 новых коров, верно?

[maximkarimov]

Да, верно.

[mihaild]

Предлагается что-то интереснее возведения матрицы $8\times 8$ в степень (ну или поиск корней многочлена восьмой степени с последующим решением линейной системы)?

[svv]

Для меня всё равно условия выглядят как-то нечётко. Первый год жизни — это до года, второй — от года до двух и так далее. Поэтому «корова впервые даёт приплод на 4 году жизни» и «начиная с 4-х летнего возраста» — разные вещи.

Я добавлю детали, они могут показаться излишними, но мне только так и понятно. Иначе — то, что у электронщиков называется «гонки».
1) Коровы всегда рождаются зимой.
2) Коровы всегда умирают весной, когда им 8 лет с хвостиком. Вскоре после того, как зимой принесли приплод.
3) Число коров подсчитывается летом. Таким образом, коров, которым исполнилось 8 полных лет, мы уже не видим.

-- Пн авг 03, 2020 19:51:40 --

Ну и, собственно, решение. Обозначим число коров, которым исполнилось $k$ полных лет, через $n_k$.
Если прошлым летом мы насчитали $n_0,\ldots,n_7$ коров, а этим летом $n'_0,\ldots,n'_7$ коров, то
$\begin{array}{l}n'_0=2(n_3+n_4+n_5+n_6+n_7)\\n'_1=n_0\\n'_2=n_1\\...\\n'_7=n_6\end{array}$

[maximkarimov]

svv в сообщении #1477155 писал(а):

«корова впервые даёт приплод на 4 году жизни» и «начиная с 4-х летнего возраста» — разные вещи.

Не уловил разницу, которую Вы имеете ввиду.
Времена года и прочий натурализм ничего интересного в задачу не привнесет - подразумевается самый что ни на есть тривиальный случай, а именно: если корове стукнуло 4 года, она (а) впервые принесла двух коров (неважно сразу или одну весной, а другую осенью) и (b) и саму корову и этот приплод мы посчитали в поголовье 4-го года, стукнуло 5 лет - еще двух принесла и так далее. На восьмом году владения стадом, мы считаем и первую корову и ее приплод, при подсчете стада на 9-м году - вычеркиваем первую корову из поголовья.
Уважаемый svv, ясны ли Вам условия задачи с учетом данного пояснения?

[Утундрий]

Забудем о физиологии. Есть восемь клеток в ряд, в которых лежат фишки. В стартовом состоянии имеется всего одна фишка в первой клетке. Ход выполняется так: последняя клетка опустошается, наполняется вновь из расчёта по две фишки за каждую фишку в клетках с четвёртой по восьмую и переставляется перед первой. Ходы следуют до тех пор, пока не иссякла трава.

[svv]

Утундрий в сообщении #1477167 писал(а):

наполняется вновь из расчёта по две фишки за каждую фишку в клетках с четвёртой по восьмую

Но ведь восьмую мы только что опустошили.
При вновь-наполнении восьмой клетки надо учитывать и то количество фишек, которое было в ней до опустошения. Если Вы с этим согласны, Ваше описание неудачное: сначала опустошаем клетку, а потом вспоминаем, что же там было. Если не согласны, Ваша интерпретация противоречит пояснениям автора задачи: телятся коровы пяти разных возрастов.

Потом, надо упомянуть, что, помещая новое содержимое восьмой клетки в первую, остальные фишки надо сдвинуть.

Лучше всего добавить ещё один временный регистр.

[maximkarimov]

1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
================
1 1 1 3 5 7 13 ...

[Dmitriy40]

Первые 20 значений: $1, 1, 1, 3, 5, 7, 13, 23, 36, 61, 106, 175, 292, 497, 834, 1395, 2353, 3960, 6644, 11175$.
Рекурентная формула $a_n=a_{n-1}+2 a_{n-3}-a_{n-8},\; a_1=1,\; a_{i<1}=0$.
Скорость роста при $n>371$ составит $\approx 1.681236146391350119235934600195543769969810116624107268236$ (на $3.9\%$ быстрее золотого сечения).

-- 03.08.2020, 23:10 --

Забавно что если приплод составляет одну корову вместо двух, то скорость роста лишь на $0.145\%$ меньше $\sqrt{2}$.

[maximkarimov]

Dmitriy40 - ответ не верный.
Вполне возможно причина в том, что как справедливо заметил svv, я действительно дал не строгую словесную формулировку условий задачи. Ориентируйтесь на табличку, которую я привел выше - если продолжить ее заполнение, то можно заметить, что 9-й член последовательности равен 34.