Построение нормали к гиперболе

[Allerated]

У меня есть произвольная точка на плоскости $(x_{c}, y_{c})$, а также заданная на этой плоскости гипербола с уравнением $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1$ . Задача состоит в том, чтобы построить перпендикуляр из этой произвольной точки к гиперболе. Я знаю уравнение нормали : $ y = y_{0} - \frac{a^2}{b^2} \frac{y_{0}}{x_{0}}(x - x_{0})$.
И чтобы найти перпендикуляр из заданной точки на гиперболу действовал так:
Поскольку точка $(x_{c}, y_{c})$ лежит на нормали, получаем уравнение $y_{c} = y_{0} - \frac{a^2}{b^2} \frac{y_{0}}{x_{0}}(x_{c} - x_{0})$. с двумя неизвестными $ x_{0}, y_{0} $.
Точка $(x_{0}, y_{0})$ принадлежит гиперболе, поэтому можем выразить $y_{0} = \pm \sqrt{ \frac{b^2}{a^2}x^2_0 - b^2} $, подставляем это в верхнюю формулу и получаем уравнение с одним неизвестным, однако когда я его решаю, то у меня получется 4-я степень икса и кончаются идеи о том, как решить это аналитически.
Не могли бы вы, пожалуйста, подсказать что я делаю не так. Мне кажется, что решение должно быть гораздо проще, но я что-то не могу до него догадаться.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Долларов полагается две штуки на формулу: один в начале, один в конце.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[lel0lel]

Allerated в сообщении #1477156 писал(а):

то у меня получется 4-я степень икса и кончаются идеи о том, как решить это аналитически.

Ничего не поделаешь, это плата за то, что нормаль не единственна. К тому же уравнения 4-ой степени решаются в радикалах, так что можно считать повезло.

[EUgeneUS]

Allerated
Из геометрических соображений будет от 1 (но кратного) до 4-х корней. Значит уравнение 4-й степени.
Что можно "поделать".
Похоже (но это не точно ), не любое уравнение 4-й степени, а сводящееся к $a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$
А оно (как подсказывает википедия) сводится к квадратному заменой $t = x + \frac{1}{x}$, а далее к квадратному уравнению относительно $x$ при известном $t$.

[novichok2018]

А можно решить обратную задачу: по данной нормали или касательной и точке на них построить гиперболу или параболу, с данной нормалью или касательной в данной точке?

[svv]

Конечно! Берёте любую гиперболу или параболу, сдвигаете её так, чтобы она проходила через заданную точку, а потом вращаете её вокруг этой точки, пока касательная или нормаль не совпадут с заданной.

[novichok2018]

я имел в виду уравнение написать. Но это тоже несложно похоже.

[pogulyat_vyshel]

можно гиперболу параметризовать гиперболическими функциями