Принцип Архимеда по Зоричу

[VoprosT]

В 21-ом упражнении 1-го тома после 2-го параграфа 2-ой главы В.А.Зорич в своём курсе математического анализа предлагает доказать,что в множестве $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ пар вида $a+b\sqrt{n}$, где $n$ - натуральное число, не являющееся квадратом, и $a,b \in \mathbb{Q}$, верна аксиома Архимеда,причём её он формулирует следующим образом: для любого $x \in \mathbb{R}$ и фиксированного положительного $h \in \mathbb{R}$ существует единственное $k \in \mathbb{Z} \colon (k-1)h \leqslant x < kh$. Могу ли я при док-ве опираться на тот факт, что $\mathbb{Q}(\sqrt{n}) \subset\mathbb{R}$, чтобы говорить про наименьший (его существование В.А. доказывает с помощью леммы о нижней грани) элемент множества $\left\lbrace k \in \mathbb{Z} \colon \frac{a+b\sqrt{n}}{h} <k\right\rbrace$ (фактически повторяя рассуждения Зорича про принцип Архимеда в $\mathbb{R}$)? Или я должен вести рассуждения только внутри $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$?

Из интересных наблюдений: В следующем задании предлагается показать, что в множестве рациональных функций принцип Архимеда не работает, ибо $x$ мажорирует любую константу, то есть рассуждения ведутся в заданном множестве, но это множество включает в себя $\mathbb{R}$, поэтому мне и непонятно, можно ли рассуждать внутри $\mathbb{R}$ в задании про $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$.

[iifat]

Ну, тут, имхо, есть два пути: либо сравнивать два числа из $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ как два действительных, либо честно с нуля определять правила сравнения. Мне лень качать Зорина, чтоб посмотреть, по какому пути идёт он; коли уж он у вас под рукой, посмотрите и доказывайте соответственно.

[VoprosT]

iifat в сообщении #1477011 писал(а):

сравнивать два числа из $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ как два действительных

Зорич в пункте а) упражнения не оговаривал, как упорядочено это множество, лишь в следующем пункте он предлагает ввести другой порядок и проверить, какие аксиомы вещественных чисел не будут выполняться. То есть В.А. , как я понял, предлагает оставить прежний порядок. Но не только же в порядке же дело. Мне нужна была лемма о верхней(нижней грани), именно с помощью неё Зорич доказывал неограниченность натуральных чисел. Могу ли я так же вести рассуждения про $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$, как о подмножестве $\mathbb{R}$?

[iifat]

VoprosT в сообщении #1477007 писал(а):

в множестве $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ пар вида $a+b\sqrt{n}$

Кстати говоря, не заметил сразу: либо множество пар вида $(a,b)$, либо множество чисел вида $a+b\sqrt n$.
В принципе, скорее всего да, $\mathbb Q(\!\sqrt n)$ — подмножество $\mathbb R$, хотя следующим же пунктом, насколько я вас понял, Зорич показывает, что это вовсе не обязательно. Таки есть у него где-то точное определение $\mathbb Q(\!\sqrt n)$?

[VoprosT]

iifat в сообщении #1477023 писал(а):

Таки есть у него где-то точное определение $\mathbb Q(\!\sqrt n)$?

Перечитал задание, речь всё-таки о числах такого вида, значит живём внутри вещественных чисел и радуемся верхним и нижним граням(?).