Изоморфность моделей действительных чисел

[VoprosT]

В 23 упражнении после второго параграфа второй главы в Зориче читателю последовательно предлагается доказать факт того, что если $\mathbb{R}1$ И $\mathbb{R}2$ - две модели действительных чисел и отображение $f\colon \mathbb{R}1 \to \mathbb{R}2$ сохраняет арифметические операции, то есть $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и $f(xy)=f(x)f(y)$, то это отображение есть биекция, сохраняющая порядок. Это я осилил.

В 24-ом упражнении требуется доказать изоморфность любых двух таких моделей. Я так понимаю, достаточно явно предъявить отображение, сохраняющее арифметические операции. Но как его предъявить? Была идея конструктивно строить его, начиная с натуральных чисел, хорошая ли это идея? И если да, то как аккуратно(на достаточном для курса анализа Зорича уровне строгости) построить это отображение?

[pogulyat_vyshel]

VoprosT в сообщении #1476695 писал(а):

В 23 упражнении после второго параграфа второй главы в Зориче читателю последовательно предлагается доказать факт того, что если $\mathbb{R}1$ И $\mathbb{R}2$ - две модели действительных чисел и отображение $f\colon \mathbb{R}1 \to \mathbb{R}2$ сохраняет арифметические операции, то есть $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и $f(xy)=f(x)f(y)$, то это отображение есть биекция,

$f\equiv 0$ подойдет?

[VoprosT]

pogulyat_vyshel в сообщении #1476696 писал(а):

$f\equiv 0$ подойдет?

Не подойдёт, это оговорено в упражнении 23 чуть дальше(по ходу решения), суть моего вопроса в другом.

[Brukvalub]

Эта теорема доказана в учебнике Ильин, Позняк "Основы математического анализа".

[VoprosT]

Brukvalub в сообщении #1476711 писал(а):

Эта теорема доказана в учебнике Ильин, Позняк "Основы математического анализа".

Спасибо!

[george66]

Содержательно, достаточно перевести рациональные числа, а затем продолжить, используя полноту. Есть хорошая книжка Лелон-Ферран "Основания геометрии", там первая глава этому посвящена.

[iifat]

В сущности, доказать для натуральных, а потом синхронно построить рациональные и действительные, наверное.

[Pennywise]

Если знаете английский, то найдите книгу E. Bloch 'The Real Numbers and Real Analysis'. В параграфе 2.7 дано детализированное доказательство (больше трёх страниц) этой теоремы.