Матрицы и определители.

[Solaris86]

Здесь хотелось бы узнать ответы на те вопросы, на которые не удалось найти ответа.
Понимание хочется связать с происхождением матриц как аппарата, возникшего при решении систем линейных уравнений.
Пусть есть такая система уравнений:
$ \begin{cases} 2x+y=6\\ x-y=-3 \end{cases} $
Матрица коэффициентов при неизвестных будет такой:
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $
Рассмотрим элементарные преобразования матриц.
1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.
В случае с перестановкой двух строк всё ясно - от этого система уравнений не изменится:
$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x-y=-3\\ 2x+y=6 \end{cases} $
А вот с перестановкой двух столбцов не ясно, почему это возможно: ведь поменяются коэффициенты при неизвестных и система уравнений станет другой?
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x+2y=6\\ -x+y=-3 \end{cases} $
2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля.
В случае умножения строки всё ясно - от этого система уравнений не изменится:
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 2x+y=6\\ 2x-2y=-6 \end{cases} $
А вот с умножением столбца не ясно, почему это возможно: ведь поменяются коэффициенты при неизвестных и система уравнений станет другой?
$ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 4x+y=6\\ 2x-y=-3 \end{cases} $
3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
В случае прибавления к элементам строки элементов другой строки, умноженных на число, всё ясно - от этого система уравнений не изменится:
$ \begin{pmatrix} 2+1\cdot3 & 1+(-1)\cdot3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 5x-2y=-3\\ x-y=-3 \end{cases} $
А вот c прибавлением к элементам столбца элементов другого столбца, умноженных на число, не ясно, почему это возможно: ведь поменяются коэффициенты при неизвестных и система уравнений станет другой?
$ \begin{pmatrix} 2+1\cdot3 & 1 \\ 1+(-1)\cdot3 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 5x+y=6\\ -2x-y=-3 \end{cases} $

[Mihr]

Solaris86, элементарные преобразования строк матрицы действительно соответствуют стандартным манипуляциям с линейными уравнениями, но элементарные преобразования столбцов - нет.

Solaris86 в сообщении #1476463 писал(а):

А вот с перестановкой двух столбцов не ясно

Такая перестановка соответствует переобозначению неизвестных: $x$ вместо $y$ и наоборот (либо изменению их нумерации, если неизвестные помечены как $x_1, x_2$).

Solaris86 в сообщении #1476463 писал(а):

с умножением столбца

Solaris86 в сообщении #1476463 писал(а):

c прибавлением к элементам столбца элементов другого столбца, умноженных на число, не ясно

Эти операции приведут к замене переменных.

[Xaositect]

Конкретно для решения систем применяют обычно элементарные преобразования строк - это проще, множество решений не меняется.
Но элементарные преобразования столбцов тоже можно проинтерпретировать в терминах систем уравнений. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между решениями исходной системы и решениями преобразованной: при перестановке столбцов решение исходной системы получается из решения преобразованной перестановкой соответствующих неизвестных и т. п.

В общем случае, преобразование столбцов - это умножение матрицы системы справа на некоторую обратимую матрицу $T$. И решения системы $Ax = b$ связаны с решениями системы $ATy = b$ как $x = Ty$, $y = T^{-1}x$

[Solaris86]

Mihr в сообщении #1476464 писал(а):

Такая перестановка соответствует переобозначению неизвестных: $x$ вместо $y$ и наоборот (либо изменению их нумерации, если неизвестные помечены как $x_1, x_2$).

Mihr в сообщении #1476464 писал(а):

Эти операции приведут к замене переменных.

Тогда мне вообще не ясно, откуда взялись элементарные преобразования, связанные со столбцами. Ну и транспонирование матрицы как тотальная замена строк столбцами и столбцов строками...
Если эти манипуляции с матрицами возникли уже после того, как матрицы стали самостоятельным математическим аппаратом перестали быть тесно связаны именно с системами линейных уравнений, тогда хочется знать, для каких целей были введены преобразования со столбцами и транспонирование.

[Mihr]

Это вопрос уже по истории математики, а не собственно по математике. Я Вам на него не отвечу. Подождите, может кто-то ответит. Или поищите ответ сами. Книг по истории математики написано не так уж мало.

[Solaris86]

Mihr в сообщении #1476470 писал(а):

Это вопрос уже по истории математики, а не собственно по математике.

Без понимания смысла преобразований столбцов приведение любой матрицы к каноническому виду является для меня не более, чем набором механических действий без понимания происходящего и выглядит это так, как будто мне предлагают какую-то религию: "Поверь, что можно преобразовывать не только строки (преобразования которых очевидны), но и столбцы (преобразования которых для меня совершенно не очевидны) и с помощью этих образований зачем-то приводить матрицу к каноническому виду (вероятно, чтобы узнать её ранг). Почему всё это именно так, мы тебе не скажем, надо просто поверить, что это так и всё."

[Mihr]

Solaris86, понимание смысла каждого действия придёт вслед за освоением предмета, а не наоборот. Не пытайтесь поставить телегу впереди лошади. Попробуйте сначала изучить данный раздел математики, а уж потом, если у Вас останется желание, разводите "философию" о "смысле" тех или иных действий. Обратная последовательность погружения в предмет - контрпродуктивна.
Изучение математики не в логической последовательности, а в исторической последовательности её развития сегодня практически невозможно: будете барахтаться в самых простых вещах, так и не дойдя до практически значимых результатов.
Таково моё мнение. Если Вы не согласны с ним, что ж, как хотите. Во всяком случае, я Вас переубеждать не стану.

[Xaositect]

Чем Вам не нравится мое объяснение - решение системы меняется, но мы всегда можем восстановить исходное решение по новому. Преобразования строк и столбцов позволяют привести систему к каноническому виду ($x_1 = b_1, x_2 = b_2, \dots$ с возможным добавлением $0 = b$), решение которой очевидно. Потом из этого решения можно восстановить решение исходной системы

Исторически в первой половине XIX века то, что мы сейчас называем линейной алгеброй формулировалось в терминах определителей, и преобразования использовались для вычисления определителей, а потом - для вычисления рангов. И для этих целей строки и столбцы равнозначны.

[Solaris86]

Mihr в сообщении #1476476 писал(а):

Solaris86, понимание смысла каждого действия придёт вслед за освоением предмета, а не наоборот. Не пытайтесь поставить телегу впереди лошади. Попробуйте сначала изучить данный раздел математики, а уж потом, если у Вас останется желание, разводите "философию" о "смысле" тех или иных действий. Обратная последовательность погружения в предмет - контрпродуктивна.

Мы в универе проходили матрицы на первом курсе, я помнил информацию про матрицы и определители за счёт выполнения заданий и упражнений, я сдал экзамен. Спустя 3 года (сейчас) я заново перечитываю тему матриц и определителей и понимаю, что многое из того, что я тогда механически запомнил (читай "вызубрил"), чтобы сдать требуемый минимум по предмету, сейчас подзабылось и я не могу восстановить в памяти логическим путём, потому что запоминание было механическое, а не логическое. То, что я запомнил логически, я могу восстановить в памяти путём рассуждений, а то, что просто механически вызубрено, восстановить не получится. Я не хочу постоянно перечитывать одни и те же разделы математики, чтобы ненадолго восстанавливать их в памяти и потом снова забывать, это для меня реально бесполезная трата времени, потому что вместо перечитывания по десятому разу того, что забылось, я мог бы изучать совершенно новую информацию. Я не математик и мне не нужно погружаться в какие-то сложные современные математические разделы, но я хочу знать положенный для инженера минимум, но знать его твёрдо и чтобы знания эти были основаны на глубоком понимании и логике, а не на механическом или ассоциативном запоминании.

Mihr в сообщении #1476476 писал(а):

Изучение математики не в логической последовательности, а в исторической последовательности её развития сегодня практически невозможно: будете барахтаться в самых простых вещах, так и не дойдя до практически значимых результатов.
Таково моё мнение. Если Вы не согласны с ним, что ж, как хотите. Во всяком случае, я Вас переубеждать не стану.

Сейчас почему-то появился такой тренд, что "живые" учебники, в которых автор последовательно ведёт повествование, проводя какие-то понятные аналогии и следуя исторической логике (для чего что-то появилось, какие задачи оно помогло решить), часто именуют пособием для чайников, а "мёртвые" учебники, где кроме строгих формальных определений, кучи теорем и заданий больше ничего нет, зато учебник огромный многотомный (5 томов - целых 3 килограмма знаний), принято считать каким-то эталоном. На лекциях в большинстве случаев тоже любят пересказать такой "мёртвый" учебник. В итоге большинство студентов насилуется такой подачей материала, героически всё сдаёт и потом успешно забывает вызубренное.
Но для чего всё это?
Раньше это нужно было для расчётов, но сейчас цифровую эпоху есть куча программ и приложений, которые быстрее самого умного студента всё посчитают, поэтому эти тонны расчётов (особенно во всяких лабораторных работах), которыми заваливают в универе, оказываются не особо и нужны.
А вот понимания-то как раз формируется у очень немногих студентов, у которых мало того, что хороший интеллект, так ещё и повезло с хорошей памятью. Они по мере погружения в предмет действительно начинают в голове формировать глубокое понимание. Есть только одно но: это десятки (если не сотни) часов практики. А если не у всех есть это время, но понимание нужно такое же, как и у этих одарённых студентов? Если нужно как в фильме "Матрица": прочитать что-то в учебнике и сразу моментально понять? На это многие ответят: "Ах какой хитрый, мы корячились и изучали всё это потом и кровью, а ты хочешь всё готовенькое? Хрен тебе!". Вот такая вот "дедовщина".

-- 29.07.2020, 12:21 --

Xaositect в сообщении #1476477 писал(а):

Чем Вам не нравится мое объяснение - решение системы меняется, но мы всегда можем восстановить исходное решение по новому. Преобразования строк и столбцов позволяют привести систему к каноническому виду ($x_1 = b_1, x_2 = b_2, \dots$ с возможным добавлением $0 = b$), решение которой очевидно. Потом из этого решения можно восстановить решение исходной системы

Исторически в первой половине XIX века то, что мы сейчас называем линейной алгеброй формулировалось в терминах определителей, и преобразования использовались для вычисления определителей, а потом - для вычисления рангов. И для этих целей строки и столбцы равнозначны.

Выше объяснение я принял к сведению, пока что я его обдумываю. Как только появятся соображения, я напишу.

[Mihr]

Solaris86, попробуйте почитать книги В. Босса. Может, они Вам чем-то помогут. Считается, что они хороши для тех, кто уже изучал данный предмет.
Я книги "для чайников" не люблю, но кому-то они нравятся. Тут уж дело вкуса.

[nnosipov]

Solaris86 в сообщении #1476480 писал(а):

но я хочу знать положенный для инженера минимум

Загляните в справочник Корна, посмотрите, сколько всего нужно знать было инженеру в те времена (сейчас вряд ли меньше). Если Вы будете продвигаться такими темпами (останавливаясь на всякой ерунде), то до содержательных знаний еще не скоро доберетесь.

Дались Вам эти элементарные преобразования столбцов. Ну, есть они (хотя бы из соображений симметрии должны были быть), что об этом рассуждать? Чтобы знания были основательными, нужно решать содержательные задачи, а не банальные упражнения для сдачи экзамена.

[Solaris86]

Mihr в сообщении #1476483 писал(а):

Solaris86, попробуйте почитать книги В. Босса. Может, они Вам чем-то помогут. Считается, что они хороши для тех, кто уже изучал данный предмет.
Я книги "для чайников" не люблю, но кому-то они нравятся. Тут уж дело вкуса.

Спасибо, посмотрю в Боссе.

-- 29.07.2020, 12:50 --

nnosipov в сообщении #1476485 писал(а):

Загляните в справочник Корна, посмотрите, сколько всего нужно знать было инженеру в те времена (сейчас вряд ли меньше). Если Вы будете продвигаться такими темпами (останавливаясь на всякой ерунде), то до содержательных знаний еще не скоро доберетесь.

Дались Вам эти элементарные преобразования столбцов. Ну, есть они (хотя бы из соображений симметрии должны были быть), что об этом рассуждать? Чтобы знания были основательными, нужно решать содержательные задачи, а не банальные упражнения для сдачи экзамена.

За справочник Корна спасибо, скачаю его.
Вы, скорее всего, представитель везучего меньшенства: одарённый специалист с высоким интеллектом и блестящей памятью, поздравляю. Я не могу похвастаться такими данными, к сожалению, поэтому что для вас "всякая ерунда" и "банальные упражнения для сдачи экзамена", для меня сложные и не очевидные вещи. Если я не буду на них останавливаться (сколько бы времени это ни заняло), я до содержательных знаний не доберусь вообще никогда... Я готов решать содержательные задачи, но только тогда, когда я понимаю что делаю. В противном случае я просто по каким-то правилам делаю непонятную механическую работу непонятно для чего (экзамен по математике давным давно сдан).
В конце концов, пусть я лучше буду знать меньше материала, но знания эти буду глубже, чем я нахватаюсь поверхностных знаний по многих разделам, потому что эти знания будут бесполезными.
В случае чего всегда можно работать командой с математиком, физиком и более эрудированным инженером.

[Mikhail_K]

Solaris86
Дело в том, что та мотивация, которая в своё время привела к появлению тех или иных математических понятий и теорий, сегодня может быть совершенно неактуальна; сегодня эти понятия и теории могут быть нужны для чего-то совсем другого.

Вот пример. Векторы сейчас проходятся на уроках геометрии, наверное, в 8-9 классе. И это действительно нужная тема, векторы нужны повсюду, в т.ч. даже в школьной же физике.

Но знали бы Вы, как понятие вектора появилось исторически!
Вот краткая история.
Когда математики научились решать квадратные уравнения, они стали думать, как решать уравнения кубические. Формула для корней кубического уравнения была получена (формула Кардано), но оказалось, что для её применения не нужно бояться извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Так появились комплексные числа вида $a+ib$, где $a$ и $b$ - числа вещественные, $i$ - мнимая единица. Математики стали думать (насколько я понимаю, просто из интереса по большей части), можно ли сочинить комплексные числа вида $a+ib+jc$, с двумя разными мнимыми единицами $i$ и $j$, и чтобы у них были такие же красивые математические свойства, как у обычных комплексных чисел. Это сделать не получилось, зато были изобретены "комплексные числа" с тремя разными мнимыми единицами $i,j,k$ - получившие название кватернионов. Кватернионы имеют вид $a+ib+jc+kd$. Далее выяснилось, что при выполнении арифметических действий над кватернионами удобно рассматривать отдельно "вещественную часть" $a$ и отдельно тройку чисел $(b,c,d)$, причём при этом естественным образом возникают действия над такими тройками, которые в дальнейшем получили название скалярного и векторного произведения. Чтобы наглядно объяснить про кватернионы, догадались рисовать тройку $(b,c,d)$ в виде направленного отрезка в трёхмерном пространстве - его и назвали вектором. Первоначально это был просто такой педагогический приём для обучения кватернионам. Потом стали пробовать кватернионы применять в физике, и оказалось, что "вещественная часть" $a$ для физических приложений не особо и нужна, можно ограничиться только тройкой $(b,c,d)$ (хотя некоторые приложения у кватернионов остались и по сей день). Вот с этого момента векторы и стали самостоятельным математическим объектом. Кроме векторов в трёхмерном пространстве, стали рассматривать векторы на прямой, на плоскости, и вообще в пространстве $n$ измерений.

Теперь вопрос: как школьникам объяснять про векторы?
Вы предлагаете грузить бедных школьников кубическими уравнениями, комплексными числами и кватернионами?
Нет, вместо этого просто вводят понятие вектора, скалярного произведения векторов, затем показывают, где эти понятия применяются (например в физике или просто при решении геометрических задач).
Но "как додумались" до скалярного произведения - не говорят. Потому что история математики в десять раз более запутанная штука, чем сама математика. И при этом совсем не логичная. Самые полезные математические понятия могли быть введены просто из интереса, а не с какими-то практическими целями.

И так не только с векторами, но и практически с любым разделом математики.

[Walker_XXI]

Solaris86, Ваше желание понятно, но подход немного странный. Сейчас линейная алгебра и матрицы в частности - большой самостоятельный раздел математики, тесно связанный с другими разделами, имеющий много разных приложений в других науках и в технике. А системы линейных уравнений - это лишь один частный пример использования матриц. Зацикливаясь лишь на нём вы не получите полного представления о матрицах, их свойствах и практическом применении.

Плюс, как мне кажется, Вы упускаете важный момент: многие объекты в математике, возникшие из частных вычислительных методов самой математики, из задач физики, других областей, впоследствии изучаются математиками как самостоятельные абстрактные объекты с заданным набором свойств. При этом вскрываются как новые интересные свойства, так и связь с другими разделами математики и выясняются новые интересные приложения. Да, все теоремы можно вывести логически, но аксиомы нужно запоминать (зазубривать, по-Вашему). И ещё один момент. Чтобы логически всё вывести (не запоминая ничего, кроме аксиом), вам придётся самостоятельно повторить путь, уже пройденный многими поколениями математиков. Хватит ли жизни?

[Dragon27]

Solaris86 в сообщении #1476480 писал(а):

А вот понимания-то как раз формируется у очень немногих студентов, у которых мало того, что хороший интеллект, так ещё и повезло с хорошей памятью. Они по мере погружения в предмет действительно начинают в голове формировать глубокое понимание. Есть только одно но: это десятки (если не сотни) часов практики. А если не у всех есть это время, но понимание нужно такое же, как и у этих одарённых студентов?

Действительно, чтобы сформировать глубокое понимание, нужно долго погружаться в предмет, самостоятельно пытаться увидеть связи и ассоциации между различными областями и понятиями и потихоньку формировать свою интуицию. Если просто тупо решать и зубрить, то толком ничего не сформируется. Но и быстрыми и понятными объяснениями, к сожалению, тоже не получится сформировать хорошее, глубокое понимание. Так что ваше желание сформировать понимание быстро и без практики, увы невыполнимо. Понимание вырабатывается самостоятельно, а не просто запоминается как набор простых шагов.
Но я не согласен с вами, что для этого нужна какая-то особая одарённость и память. Тут дело, скорее, в подходе и стратегии. Люди, которые не владеют каким-то навыком, всегда подозревают людей, которые этим навыком владеют, в каким-то чудесных врождённых суперспособностях. Психологически успокаивает.

Да и многие вещи, как вам уже сказали, совсем не обязаны иметь чёткое и понятное "логичное" происхождение. Вещи появляются по наитию, перебором, попыткой уловить какие-то аналогии, симметрии, применить что-нибудь из одной области в другой (а что получится, если так сделать? А будет что-нибудь интересное, если столбцы поменять со строками?). История появления понятий не выстраивается в чёткую логическую цепочку, в которых одни понятия сами собой выводятся из других. Многие вещи укладываются во что-то удобоваримое только задним числом. Также и изучение математики (и не только), между прочим. Какие-то вещи становятся "ясными" не сразу на месте, а после того, как вы уже прошли далеко вперёд, оглянулись назад и увидели общую картину.

Solaris86 в сообщении #1476480 писал(а):

"живые" учебники
"мёртвые" учебники

Да и то и то - тренд, и ничто из этого не панацея. Разным людям (и даже одному и тому же человеку в разное время) подходят разные подходы и мотивации. При чтении формального учебника, хочется живых примеров и мотивирующих объяснений, при чтении "живого" учебника, хочется чётких и строгих формулировок без этой исторической мишуры и отвлекающих аналогий. К тому же "живость" учебника весьма субъективна и зависит от уровня знаний и опыта человека.