Векторный и невекторый вид формул движения по окружности

[Solaris86]

Дана материальная точка $M$. Она движется вокруг оси $OO'$ Радиус описываемой окружности окружности $R$, угловая скорость $\omega$ и линейная скорость $v$.
Пусть векторы $\mathbf{R}$, $\mathbf{\omega}$ и $\mathbf{v}$ образуют правую тройку, тогда справедливы следующие векторные произведения:
$\mathbf{\omega} = [\mathbf{R}\mathbf{v}]$
$\mathbf{R} = [\mathbf{v}\mathbf{\omega}]$
$\mathbf{v} = [\mathbf{\omega}\mathbf{R}]$
Это векторный вид формул.
Невекторный же вид формул выглядит так:
$\omega = \frac{v}{R}$
$R = \frac{v}{\omega}$
$v = \omega R$
Как сопоставить векторный и невекторный вид формул (видно, что совпадение есть только для формулы $\mathbf{v} = [\mathbf{\omega}\mathbf{R}]$ и формулы $v = \omega R$)?

[svv]

Совпадение у Вас есть для той единственной векторной формулы, которая верна.

Чтобы все три векторных формулы были справедливы, надо (исключая тривиальный случай нулевых векторов), чтобы все три вектора образовывали ортонормированный базис: были ортогональны друг другу и имели единичную длину.

[Walker_XXI]

Solaris86 в сообщении #1476385 писал(а):

Как сопоставить векторный и невекторный вид формул

Наверное, надо понять, откуда взялись векторные формулы (невекторные получаются из простых кинематических соображений и определений входящих в них величин). Кстати, первая и вторая векторные формулы у Вас не сходятся по размерности.

[Solaris86]

Спасибо! Подскажите, как делать жирный шрифт у латинский букв (угловую скорость не получилось сделать жирным шрифтом)?

[svv]

http://dxdy.ru/topic73207.html
Вы хотели сказать, у греческих.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Обычная $\omega$ - "жирная" $\boldsymbol\omega$.
Правда, разница не слишком заметна.

-- 28.07.2020, 16:21 --

Насчёт вопроса темы. Предлагаю начать сразу в двух направлениях:
1) с определения псевдовектора угловой скорости: как он направлен, как это направление выражается через единичные векторы радиуса и касательной скорости;
2) записать Ваши "векторные" формулы в скалярном виде и модифицировать так, чтобы сошлась размерность.

[Solaris86]

Walker_XXI в сообщении #1476397 писал(а):

Насчёт вопроса темы. Предлагаю начать сразу в двух направлениях:
1) с определения псевдовектора угловой скорости: как он направлен, как это направление выражается через единичные векторы радиуса и касательной скорости;
2) записать Ваши "векторные" формулы в скалярном виде и модифицировать так, чтобы сошлась размерность.

Направлен псевдовектор угловой скорости перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторно вектора.
$\boldsymbol{\omega} =|\boldsymbol{\omega}|\mathbf{e}_\omega \Rightarrow \mathbf{e}_\omega = \boldsymbol{\omega}\frac{1}{|\boldsymbol{\omega}|}$
$\mathbf{R} = |\mathbf{R}|\mathbf{e}_R \Rightarrow \mathbf{e}_R = \mathbf{R}\frac{1}{|\mathbf{R}|}$
$\mathbf{v} = |\mathbf{v}|\mathbf{e}_v \Rightarrow \mathbf{e}_v = \mathbf{v}\frac{1}{|\mathbf{v}|}$
$\mathbf{e}_\omega = [\mathbf{e}_R\mathbf{e}_v] \Rightarrow \boldsymbol{\omega}\frac{1}{|\boldsymbol{\omega}|} = [\mathbf{R}\frac{1}{|\mathbf{R}|}\mathbf{v}\frac{1}{|\mathbf{v}|}] \Rightarrow \boldsymbol{\omega} = \frac{|\boldsymbol{\omega}|}{|\mathbf{R}||\mathbf{v}|}[\mathbf{Rv}]$
$\mathbf{e}_R = [\mathbf{e}_v\mathbf{e}_\omega] \Rightarrow \mathbf{R}\frac{1}{|\mathbf{R}|} = [\mathbf{v}\frac{1}{|\mathbf{v}|}\boldsymbol{\omega} \frac{1}{|\boldsymbol{\omega}|}] \Rightarrow \mathbf{R} = \frac{|\mathbf{R}|}{|\mathbf{v}||\boldsymbol{\omega}|}[\mathbf{v}\boldsymbol{\omega}]$
$\mathbf{e}_v = [\mathbf{e}_\omega\mathbf{e}_R] \Rightarrow \mathbf{v}\frac{1}{|\mathbf{v}|} = [\boldsymbol{\omega}\frac{1}{|\mathbf{R}|}\mathbf{R} \frac{1}{|\boldsymbol{\omega}|}] \Rightarrow \mathbf{v} = \frac{|\mathbf{v}|}{|\boldsymbol{\omega}||\mathbf{R}|}[\boldsymbol{\omega}\mathbf{R}]$

svv в сообщении #1476396 писал(а):

http://dxdy.ru/topic73207.html

Вы хотели сказать, у греческих.

Да, конечно, греческих. Благодарю.

[Walker_XXI]

Solaris86, другое дело!

Осталось только в полученных формулах воспользоваться соотношением $v = \omega R$ (которое на самом деле записано для модулей векторов), чтобы исключить из правой части модуль той величины, которая стоит слева.

[Solaris86]

Walker_XXI в сообщении #1476403 писал(а):

Solaris86, другое дело!

Осталось только в полученных формулах воспользоваться соотношением $v = \omega R$ (которое на самом деле записано для модулей векторов), чтобы исключить из правой части модуль той величины, которая стоит слева.

$\boldsymbol{\omega} = \frac{|\boldsymbol{\omega}|}{|\mathbf{R}||\mathbf{v}|}[\mathbf{Rv}] = \frac{\frac{|\mathbf{v}|}{|\mathbf{R}|}}{|\mathbf{R}||\mathbf{v}|}[\mathbf{Rv}] = \frac{1}{|\mathbf{R}|^2}[\mathbf{Rv}]$
$\mathbf{R} = \frac{|\mathbf{R}|}{|\mathbf{v}||\boldsymbol{\omega}|}[\mathbf{v}\boldsymbol{\omega}] = \frac{\frac{|\mathbf{v}|}{|\boldsymbol{\omega}|}}{|\mathbf{v}||\boldsymbol{\omega}|}[\mathbf{v}\boldsymbol{\omega}] = \frac{1}{|\boldsymbol{\omega}|^2}[\mathbf{v}\boldsymbol{\omega}]$
$\mathbf{v} = \frac{|\mathbf{v}|}{|\boldsymbol{\omega}||\mathbf{R}|}[\boldsymbol{\omega}\mathbf{R}] = \frac{|\boldsymbol{\omega}||\mathbf{R}|}{|\boldsymbol{\omega}||\mathbf{R}|}[\boldsymbol{\omega}\mathbf{R}] = [\boldsymbol{\omega}\mathbf{R}]$
Так?

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Риторический вопрос. Чем высасывать из пальца сомнительные и бесполезные соотношения не лучшель освоить стандартные теоремы кинематики?

[Solaris86]

pogulyat_vyshel в сообщении #1476410 писал(а):

Чем высасывать из пальца сомнительные и бесполезные соотношения не лучшель освоить стандартные теоремы кинематики?

Для вас эти формулы сомнительные и бесполезные, а для меня они важные и нужные в плане понимания, как правильно сопоставлять формулы в вектором и невекторном видах. Со скалярным произведением векторов мне всё более или менее понятно, а вот с векторным произведением было не всё ясно, а после манипуляций с этими формулами многое прояснилось и пробелы в знаниях, которые были, заполнились информацией.

[Walker_XXI]

Solaris86 в сообщении #1476408 писал(а):

Так?

Угу. Разве что запись можно было сильно упростить (тем более в $\LaTeX$) - вместо модулей "жирных букв" писать "нежирные".

И поддерживаю pogulyat_vyshel. Эти упражнения были формально-математическими, мало что дающими в понимании физики. Да и математики в них особой нет - писанина одна.

[Solaris86]

Walker_XXI в сообщении #1476414 писал(а):

Эти упражнения были формально-математическими, мало что дающими в понимании физики. Да и математики в них особой нет - писанина одна.

Я стараюсь подчищать пробелы не только в понимании сути явлений физики и аппаратов математики, но и в знании формальностей и грамотной записи на языке математики. Поэтому называйте это как угодно - "писанина", " высасывание из пальца сомнительных и бесполезных соотношений", мне это нужно, поэтому и обращаюсь за помощью.

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Solaris86, никто ж не против помочь, если просите. Просто иногда бывает полезна и помощь в виде совета, на что следует обратить внимание и изучить пристальнее, а что не заслуживает большой траты времени.

В данном случае недоразумение возникло потому, что Вы где-то взяли некорректные формулы. Кстати, рекомендую обратить внимание на размерность. В физике большинство величин размерны, а в уравнениях размерности выражений с обеих сторон знака равенства должны совпадать. Если не совпадают, значит что-то потерялось: либо переменная, либо размерная константа (а может всё сразу) В этой связи можно отметить, что в уравнениях аргументы функций, представимых в виде степенных рядов, должны быть безразмерными величинами.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Чё-т напомнило:
- Подскажите, как правильно заниматься икебаной? Лыжи я уже купил.