Обоснование перевода в радианы при расчёте пределов

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Эта "глубокая" тема - яркий пример того, как на ровном месте создать проблему.

Zul в сообщении #1475913 писал(а):

Задача:
Найти значение предела

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$

в случае если единицей измерения по оси x являются градусы

Скажите, аргумент синуса - это та же величина, что и знаменатель дроби?

[nnosipov]

Возможно, будет полезна статья: Ю.И. Любич. Два замечательных предела // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 4. М.: МЦНМО, 2000.

[Pphantom]

Kateyko, буква "пи" набирается так - $\pi$.

[alisa-lebovski]

Kateyko в сообщении #1476008 писал(а):

Автор темы при переводе градусов в радианы делает это только в знаменателе, вводя некую функцию: $ y=\frac{\pi x}{180} $, а числитель оставляет "нетронутым". Если же переводить в радианную меру и в числителе, и в знаменателе, то должно получиться следующее:
Для краткости обозначим $ a=\frac{\pi}{180} $ . И у нас получится: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax}=1$

В радианах или градусах измеряется угол, который является аргументом синуса. В знаменателе никакой радианной или градусной меры стоять не должно, там должно быть число, иначе это физика, где при разных единицах измерения знаменателя получаются разные ответы (синус - величина безразмерная), и это не числа, а величины с размерностью. Никого же не удивляет, что скорость в метрах в секунду и в километрах в час разная. То есть получается либо $\pi/180$ обратных градусов либо 1 обратный радиан. Если не написать корректно, как я предлагала выше, тогда предел $\pi/180$.

[Zul]

Brukvalub в сообщении #1476023 писал(а):

(Оффтоп)

Эта "глубокая" тема - яркий пример того, как на ровном месте создать проблему.

Вы более чем правы

(Оффтоп)

Я пытаюсь разобраться - что именно имели в виду авторы онлайн курса орегонского университета, и пока терплю поражение за поражением https://oregonstate.edu/instruct/mth251 ... ample.html ... (с надеждой) может поможете ?

Brukvalub в сообщении #1476023 писал(а):

Zul в сообщении #1475913 писал(а):

Задача:
Найти значение предела

$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$

в случае если единицей измерения по оси x являются градусы

Скажите, аргумент синуса - это та же величина, что и знаменатель дроби?

в моих представлениях о вселенной в числителе будет синус от этой величины, но возможно я недопонял вопрос

[Brukvalub]

Вот же замечательная ссылка:

nnosipov в сообщении #1476034 писал(а):

Возможно, будет полезна статья: Ю.И. Любич. Два замечательных предела // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 4. М.: МЦНМО, 2000.

[svv]

Zul
Попробуйте сами придумать непротиворечивые правила работы с градусами и радианами. И после этого работайте спокойно и уверенно. Например:
1) Углы измеряются только в радианах. Вопрос «в чём выражен угол?» больше не ставится.
2) Для практического удобства вводится угол, обозначаемый $°$. Он равен $\frac{\pi}{180}$. Таким образом, $30°=30\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.

[Zul]

Brukvalub в сообщении #1476169 писал(а):

Вот же замечательная ссылка:

nnosipov в сообщении #1476034 писал(а):

Возможно, будет полезна статья: Ю.И. Любич. Два замечательных предела // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 4. М.: МЦНМО, 2000.

Да, спасибо ... я написал ответ до того, как пошёл читать статью. К сожалению утверждение (3) в статье в явном виде тоже не доказывается .. что приводит к дискуссиям - хорошо продемонстрированным в данной теме (ещё раз спасибо всем участникам за это в том числе ). Но приятно, что хотя-бы моё "интуитивное" понимание последствий скейлинга статья подтвердила. Было бы грустно (для меня) ошибаться в этом.

-- 26.07.2020, 20:29 --

svv в сообщении #1476173 писал(а):

Zul
Попробуйте сами придумать непротиворечивые правила работы с градусами и радианами. И после этого работайте спокойно и уверенно. Например:
1) Углы измеряются только в радианах. Вопрос «в чём выражен угол?» больше не ставится.
2) Для практического удобства вводится угол, обозначаемый $°$. Он равен $\frac{\pi}{180}$. Таким образом, $30°=30\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.

В статье Любича дано общее решение при любых $\alpha$

Принимая, что х - радианная мера угла там утверждается:

Цитата:

Если же, вообще, в некотором масштабе a = k x где k постоянный положительный коэффициент то $\lim\limits_{a\to 0}\frac{\sin (a)}{a} = \frac{1}{k}$.

[svv]

Zul в сообщении #1476177 писал(а):

$\lim\limits_{a\to 0}\frac{\sin (a)}{a} = \frac{1}{k}$

Так получится, если игнорировать различие между $\frac{\sin 30°}{30°}$ и $\frac{\sin 30°}{30}$. Я не игнорирую, и у меня этот предел всегда равен $1$, независимо от того, в градусах брать угол или в радианах.

[novichok2018]

Хотел добавить ссылку на Любича, которая на форуме неоднократно указывалась, но
nnosipov меня опередил. Вроде там всё разобрано.

[Otta]

А насколько актуально все тут вышеприведенное? Реально, где востребован замечательный предел, у которого одна и та же переменная интерпретируется в числителе по Цельсию, в знаменателе по Фаренгейту, а в базе предела по Менделееву?

[Zul]

Otta в сообщении #1476207 писал(а):

А насколько актуально все тут вышеприведенное? Реально, где востребован замечательный предел, у которого одна и та же переменная интерпретируется в числителе по Цельсию, в знаменателе по Фаренгейту, а в базе предела по Менделееву?

Я выше по странице под тегом "оффтоп" написал почему я решил понять что к чему в этом вопросе ... ситуация и в самом деле интересная

-- 26.07.2020, 22:30 --

svv в сообщении #1476185 писал(а):

Zul в сообщении #1476177 писал(а):

$\lim\limits_{a\to 0}\frac{\sin (a)}{a} = \frac{1}{k}$

Так получится, если игнорировать различие между $\frac{\sin 30°}{30°}$ и $\frac{\sin 30°}{30}$. Я не игнорирую, и у меня этот предел всегда равен $1$, независимо от того, в градусах брать угол или в радианах.

Я подозреваю (благодаря мнениям с предыдущей страницы), что разночтения возникают как-раз из-за того, что этот "один" это один обратный радиан .. а при записи в системах измерения отличных от радиан 1 обратный радиан совсем не равен 1 .. в частности в "градусах" это будет $\frac{\pi}{180}$

-- 26.07.2020, 23:14 --

Заодно исправляю сам себя - изначальное решение неверно (и запутывает).

Правильное решение:

Для расчёта предела (чтобы брать производные по общим правилам) нам необходимо перейти (только "внутри" синуса) к измерению в радианах ... а следовательно исходный предел переписываем как


$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(\dfrac{\pi}{180} x)}{x} а дальше всё по общим правилам

[Zul]

svv в сообщении #1476185 писал(а):

Zul в сообщении #1476177 писал(а):

$\lim\limits_{a\to 0}\frac{\sin (a)}{a} = \frac{1}{k}$

Так получится, если игнорировать различие между $\frac{\sin 30°}{30°}$ и $\frac{\sin 30°}{30}$. Я не игнорирую, и у меня этот предел всегда равен $1$, независимо от того, в градусах брать угол или в радианах.

Будет ли являться разрешением потенциального "дуализма" предела построение графика функции $y =\frac{\sin (x^\circ)}{x}$.

и геометрическое вычисление производной в нуле ? ( при этом, дискуссия логически должна свестить к градуировке оси игрек ... и ответ будет зависеть от того - кто там что видит ... если считать что единицы по оси игрек соответствуют единицам по оси икс получится одно, а если считать что нет -другое )

[gris]

посмотрите функцию $z=\dfrac y x$

[svv]

Не знаю, что Вам и ответить. Я выше предложил простые правила, при которых никакого дуализма не возникает:
Значок ° — это просто множитель, означающий $\frac{\pi}{180}$. Угол $30°$ равен $30\frac{\pi}{180}$ (радиан).

Поэтому
$\dfrac{\sin\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sin 30°}{\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{6}}{30°}=\dfrac{\sin 30°}{30°}=\dfrac{3}{\pi}$
и
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x°}{x°}=1$
Но
$\dfrac{\sin 30°}{30}=\dfrac{1}{60}$