Перечитываю старую тему и учебники.
То, что у Ильина-Позняка "линейное преобразование" --- стандартно "аффинное отображение". А "линейное" применяется к отображениям векторных пространств (а иногда аффинных пространств, при условии, что выделено начало координат и оно переходит в себя).
Линейное - когда нуль переходит в нуль, аффинное - когда не обязательно. Как линейные, так и аффинные отображения могут быть биективными или не биективными.
В книге
Александров. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968 аффинное преобразование плоскости определяется так (с. 261 - 262):
Цитата:
Пусть в плоскости задана произвольная аффинная система координат
. Если наряду с этой ("старой" или "исходной") задать также совершенно произвольную "новую" аффинную систему координат
, то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке
плоскости ставится в соответствие точка точка
, которая в новой координатной системе имеет те самые координаты, какие точка
имела в старой системе. Преобразование, которое может быть задано этим способом, называется аффинным.
Согласно этому определению, аффинное преобразование всегда биекция.
Далее на с. 272 Александров выражает аффинное преобразование через систему уравнений
(где на сей раз координаты точки и ее образа даны в одной и той же системе координат) и оговаривает, что система уравнений невырожденная, т.е. опять-таки аффинное преобразование - биекция.
В то же время
Кострикин. Введение в алгебру. М.:2000, т. 2. Гл. 4. Аффинные и евклидовы точечные пространства. . Аффинные пространства дает следующее определение. Пусть
- аффинные пространства, ассоциированные с линейными пространствами
над одним и тем же полем
. Отображение
называется аффинным или аффинно-линейным, если существует такой линейный оператор
, что
верно
.
Согласно этому определению, константное преобразование
- аффинное, поскольку тождественно нулевой оператор - линейный.
Итак, мы имеем два учебника аналитической геометрии с одним пониманием аффинного пространства и учебник алгебры с другим. Я вынужден сделать вывод, что это не Ильин с Позняком с терминологией намудрили, а действительно есть две разные терминологические традиции. Возможно, терминология Кострикина новее, а у "аналитиков" - устаревшая.