Помогите разобраться с задачей по комбинаторике.

[Dmytro Sheludchenko]

Не могу разобраться с задачей по комбинаторике с элементами теории вероятности:
Выбираются 3 три шара из корзины.Всего в корзине 10 шаров:3 белых и 7 черных.
Вопросы такие : 1.) Сколько всего возможных комбинаций ? По- моему это 120 штук.
2.) Какова вероятность того, что шары будут разного цвета ? Я посчитал, что всего возможных разноцветных комбинаций 84.3) Какая комбинация встречается чаще всего ? В этом вопросе и лежит проблема.Интуитивно понятно,что чаще всего встречается два черных и белый . Но как это доказать аналитически и сколько таких комбинаций возможно ?
Заранее спасибою

[PAV]

Dmytro Sheludchenko в сообщении #147433 писал(а):

По- моему это 120 штук.

Этот ответ был бы правильным, если бы все шары были различимы (пронумерованы) и извлекались бы без учета порядка. В данной же задаче шары одного цвета неразличимы, поэтому искомые комбинации будут состоять только из букв Б и Ч. Их немного и можно посчитать просто явным перечислением. Но в любом случае нужно явно определиться с тем, будет ли учитываться порядок извлечения шаров (т.е. считаются ли последовательности, отличающиеся порядком, одинаковыми или различными).

[Dmytro Sheludchenko]

Я думаю,что шары пронумерованы, иначе задача какая-то нестандратная

[PAV]

Нет, если бы шары были пронумерованы, тогда это должно было бы быть указано в условии. А так ясно сказано только про цвета. Это вполне нормальный тип задач, с группами неразличимых между собой объектов.

[GAA]

Задача не очень однозначно сформулирована, но пусть шары пронумерованы и порядок извлечения шаров не важен.
Возможны комбинации следующих типов:
0) ноль белых и три черных, число комбинаций $c_0=C_3^0C_7^3$;
1) один белый и два черных, число комбинаций $c_1=C_3^1C_7^2$;
2) два белый и один черный, число комбинаций $c_2=C_3^2C_7^1$;
3) три белых и ноль черных, число комбинаций $c_3=C_3^3C_7^0$.
Здесь $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — число сочетаний из $n$ по $m$.

Из этого получаем ответы на вопросы задачи:
1) всего возможных комбинаций: $c = c_0 + c_1+ c_2 + c_3$;
2) вероятность того, что шары будут разного цвета: $p = (c_1+ c_2)/c$;
3) Cравнив $c_0$, $c_1$, $c_2$ и $c_3$, получаем комбинацию, которая встречается чаще всего: «один белый и два черных».

[ewert]

PAV в сообщении #147476 писал(а):

Нет, если бы шары были пронумерованы, тогда это должно было бы быть указано в условии. А так ясно сказано только про цвета.

Это справедливо только для первого вопроса, про к-во комбинаций. Но первый вопрос действительно сформулирован абсолютно бестолково, и понять, что в точности имеется в виду, совершенно невозможно.

А вот при вычислении вероятностей можно как учитывать порядок, так и не учитывать, так же как и "нумерацию". Это дело вкуса (точнее, простоты решения). Важно лишь следить за тем, чтобы интерпретации в числителе и знаменателе были одинаковыми.

----------------------------------------------------------------------------
Кстати, припомнилась одна очень симпатичная задачка, как раз про различные интерпретации.

"В ящике лежат 10 шаров неизвестного цвета (белого или чёрного). Добавляем туда два белых шарика и один чёрный. Какова после этого вероятность извлечь оттуда белый шар? Все возможные исходные составы шаров в ящике считать равновероятными."

[--mS--]

PAV писал(а):

Нет, если бы шары были пронумерованы, тогда это должно было бы быть указано в условии. А так ясно сказано только про цвета. Это вполне нормальный тип задач, с группами неразличимых между собой объектов.

Это было бы так, кабы в задаче отсутствовали дальнейшие пункты. А поскольку далее требуется вычислять и сравнивать вероятности, то эта задача - на классическое определение вероятности. И в первом пункте требуется просто выполнить первое действие в решении задач на классическое определение: найти мощность пространства (равновозможных) элементарных исходов. Конечно, в отрыве от контекста условие выглядит недоопределённым. Однако контекст на занятиях, видимо, был.

[M-A-E]

Цитата:

2.) Какова вероятность того, что шары будут разного цвета ? Я посчитал, что всего возможных разноцветных комбинаций 84.

Вопрос не корректен. У вас всего 2 типа шаров различающихся по цвету, выбирается 3. Следовательно минимум 2 шара будут одного цвета.

[--mS--]

Видимо, составитель задачи посчитал противоположными события "быть одноцветными" и "быть разноцветными"