Определитель Вронского и таблица характеров

[timots]

Построим определитель Вронского для уравнения
$y^{(n)}=y$ для случая $x=0$ мы получим матрицу Фурье. Элементами этой матрицы будут корни $n$ степени из единицы. Эту матрицу можно рассматривать как таблицу одномерных характеров. Для чего это нужно? Связь таблицы характеров и дифференциальных уравнений приводит к специальным функциям, которые применяются в теории вероятности, в статистике и в физики.
Что новое дает этот метод? Определитель Вронского дает систему линейных уравнений, где за начальные условия можно взять любы функции. Тогда, чтобы из общего решения $y=C_1y_1+C_2y_2+\cdots+C_ny_n$
получить частное надо решить систему линейных уравнений относительно постоянных $C_1, C_2, \cdots, C_n$:
$C_1y_{10}+C_2y_{20}+\cdots+C_ny_{n0}=y_0\\C_1y’_{10}+C_2y’_{20}+\cdots+C_ny’_{n0}=y’_0\\C_1y^{(n-1)}_{10}+C_2y^{(n-1)}_{20}+\cdots+C_ny^{(n-1)}_{n0}=y^{(n-1)}_0$
Здесь через $y^{(k)}_{ i0} $ обозначено значение $k$ производной от частного решения $y_i$ в точке $x_0$. Определитель этой системы
$V=\begin{vmatrix}y_{10}&y_{20}&\cdots&y_{n0}\\y’_{10}&y’_{20}&\cdots&y’_{n0}\\y^{(n-1)}_{10}&y^{(n-1)}_ {20}&\cdots&y^{(n-1)}_{n0}\end{vmatrix}$ есть значение определителя Вронского в точке $x=x_0$
Определитель Вронского применяют при выведении формулы Остроградского.
При $x=0$ мы получим матрицу Фурье или таблицу одномерных характеров
$\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\1&\xi_1&\cdots&\xi_{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\xi_1^{n-1}&\cdots&\xi_{n-1}^{n-1}\end{pmatrix}$
В качестве начальных условий можно взять любые функции. Так как здесь мы имеем дело не с функцией и ее производной, а с фундаментальной системой линейных уравнений. Так для $y’’=y$ получим :
$C_1+C_2=y_0\\C_1-C_2=y’_0$
Но через определитель Вронского можно связать функции и ее производные. Связать степень дифференцированья и со степенью многочлена.
Для этого свяжем определитель Вронского с расширением Галуа.
Расширение Галуа связано с такими предположениями как
1) нормальность
2) сепарабельность
3) конечность
Докажем что определитель Вронского для уравнения $y^{(n)}=y$ отвечает расширением Галуа.
Доказательство основано на том, что уравнение $z^n=1$ отвечает представлениям Галуа.
Так как уравнение $z^n=1$ имеет $n$ различных корней то эти корни сепарабельны, а так как корни принадлежат замкнутому полю характеристики ноль, то нормальность является аналогом основной теоремы алгебры. Конечность выводится из конечности самого многочлена $z^n-1=0$.
Чтобы связать степень дифференцированья со степенью многочлена надо связать сепарабельные многочлены с чисто не сепарабелными многочленами. В поле положительной характеристике такая связь выводится через детскую биномиальную теорему $z^p-2=(z-1)^n, \operatorname{char}(K)=p$
В поле характеристике ноль такую связь можно вывести через матрицы. Если умножить матрицу Фурье на сопряженную, то получим диагональную матрицу характеристический многочлен, для которой будет чисто не сепарабельным $n(z-1)^n$ . Матрица Фурье будет состоять из корневых векторов. Это дает возможность использовать дифференцированье для нахождения корней
$f^{(n)}=f\\ f^{(n-1)}=f' \\\cdots\\f=f^{(n)} $.
И тогда методы нахождения корней с использованьем производной связан с дифференциальным уравнением, где производная равна функции.
$f ’=f$.
Связь степени многочлена и дифференцированья является связью дискретного и непрерывного измерения.
Так как система циклична, то проективный предел совпадает с индуктивным приделом и эту схему можно использовать для доказательства некоторых соотношений.
Например,- свести теорему Ферма к случаю, когда $x-y=1$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: к предыдущим.

-- 23.07.2020, 12:13 --

timots, очередное возобновление темы из Пургатория. Поскольку предупреждения не действуют, а визиты случаются редко - бан на месяц.