Число одночленов

[vadimm]

Сколько имеется различных одночленов от $n$ переменных полной степени: ровно $d$, не больше $d$?

Полная степень одночлена $x_1^{a_1}x_2^{a_2} \dots x_n^{a_n}$ - это сумма $a_1+a_2+ \dots +a_n$.

Понятно, что решается эта задача с помощью комбинаторных формул, как мне кажется. Однако я плохо понимаю, что спрашивается? То есть в первом случае $a_1+a_2+ \dots +a_n = d$, а во втором $a_1+a_2+ \dots +a_n \leqslant d$?

[alisa-lebovski]

"Не больше" - это не "меньше".

[DeBill]

vadimm в сообщении #1475112 писал(а):

в первом случае $a_1+a_2+ \dots +a_n = d$

Да, с условием неорицательности и целочисленности слагаемых.

vadimm в сообщении #1475112 писал(а):

а во втором $a_1+a_2+ \dots +a_n < d$?

Нет. "Не больше" означает "меньше либо равно, $\leqslant$"

[vadimm]

Ах да. Спасибо. Опечтался. Исправил.

-- 21.07.2020, 21:59 --

DeBill в сообщении #1475116 писал(а):

Да, с условием неорицательности и целочисленности слагаемых.

Не до конца разобрался.
Рассмотрим все одночлены от двух переменных полной степени равной трем.
1. $x_1^0x_2^3 = x_2^3$
2. $x_1^3$
3. $x_1x_2^2$
4. $x_1^2x_2$
Всего будет эти четыре, так же?

Все одночлены от двух переменных полной степени меньше или равной трем. Плюс еще четыре.
1. $x_1^3$
2. $x_2^3$
3. $x_1x_2^2$
4. $x_1^2x_2$
5. $x_1$
6. $x_1^2$
7. $x_2$
8. $x_2^2$

[DeBill]

Да.

[alisa-lebovski]

Вам нужны сочетания с повторениями.

[DeBill]

Посмотрите методу "шары и перегородки"...

[vadimm]

В интерпретации с "шарами и перегородками" получается, что имеется $d$ шаров и $(n-1) $ перегородок или $n$ "ящиков", если я правильно понял? То есть формула будет $\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}$ в первом случае.

А вот в случае не больше $d$, если $d = 0$, то это тоже одночлен? Кажется, что такого не может быть. Например, просто единица. Полная степень должна быть больше нуля, да?

[iifat]

vadimm в сообщении #1475130 писал(а):

Например, просто единица

Да вы, батенька, расист. Чем вам не угодила безобидная единица? По какому праву вы отказываете ей в одночленовости?

[vadimm]

Что же тогда это получается? Число различных одночленов от $n$ переменных полной степени не больше $d$ равно $1 + \frac{n!}{(n-1)!} + \dots$? Какая-то ерунда получается. Не могу понять, что должно быть вместо многоточия?

Понятно, что:
$d = 0$; тогда $1$
$d = 1; \frac{n!}{(n-1)!}$
$d = 2; 1+\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{(n+1)!}{2(n-1)!}$
$d = 3; 1+\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{(n+1)!}{2(n-1)!}+\frac{(n+2)!}{6(n-1)!}$
и т.д.

Должна же существовать какая-то красивая формула !?

[alisa-lebovski]

Добавьте $a_{n+1}$, чтобы сумма стала равна $d$.

[DeBill]

alisa-lebovski в сообщении #1475162 писал(а):

Добавьте $a_{n+1}$, чтобы сумма стала равна $d$.

Имеется в виду : посчитайте то же для $n+1$ переменной, а потом вместо $a_{n+1} $ подставьте единичку...
Но можно и по тупому: слагаемые из полученных Вами сумм - числа из тр-ка Паскаля. Свойства тр-ка позволяют их свернуть - свести к одному числу.

[vadimm]

Вот видите, что я и говорил. Вы мне пишете про что-то очевидное. Я не понимаю. Не могли бы объяснить еще? Посчитать то же, это что? Что такое $a_{n+1}$, это член ряда, какого?

[alisa-lebovski]

vadimm в сообщении #1475168 писал(а):

:facepalm: Вот видите, что я и говорил. Вы мне пишете про что-то очевидное. Я не понимаю. Не могли бы объяснить еще? Посчитать то же, это что? Что такое $a_{n+1}$, это член ряда, какого?

Вашего ряда $a_1,\dots,a_n$. Если их сумма не больше $d$, значит, ее можно дополнить еще одним неотрицательным слагаемым, чтобы она стала равна $d$, и наоборот.

[DeBill]

DeBill в сообщении #1475166 писал(а):

посчитайте то же для $n+1$ переменной, а потом вместо $a_{n+1} $ подставьте единичку...

Да, невразумительно, и с опечаткой...Звиняйте...
"То же" - это "решите первую задачу для $n+1$ переменной $x_1,...,x_n, x_{n+1}$". А единичку в полученные одночлены надо подставить вместо $x_{n+1}$ - будут получаться одночлены уже от $n$ переменных, степени не выше $d$.