Свойства пустого множества

[Sicker]

А верно ли, что значение башни степеней$ x^{y^{z^…}}$ для пустого семейства чисел равно единице?
А значение $(...(0+1)\cdot 2+1)\cdot 2)+...)$ для пустого числа итераций равно нулю?
А значение $(...(1\cdot1)+2\cdot1)+ 2)+...)$ для пустого числа итераций равно единице?

[kotenok gav]

Нет, т.к. данные символы не имеют смысла (ни при пустом множестве, ни при непустом множестве).

[Евгений Машеров]

Не-математический пример с пустым множеством.
Начальник службы безопасности предприятия требует у кадровика проверить, у всех ли сотрудников есть справка о несудимости. Кадровик отвечает: "У всех, принятых через кадровое агенство, справка есть, агенство проверяет, а не через агенство мы никого на работу не брали".
То есть множество работающих $W=A\bigcup A'$, где A - взятые через агенство, A' - не через агенство. Если элементы некоторых множеств все обладают некоторым свойством, то им обладает и их объединение. А так как $A'=\varnothing$, то кадровик опирается на то, что каждый элемент пустого множества обладает любым свойством. В этом не более парадокса, чем в прибавлении нуля.
Парадокса тут вообще нет, есть софизм. Когда введенное для однообразия операций соглашение принимают (точнее, делают вид) за отражающее взаимоотношения существующих объектов, а потом делают вывод, что объекты должны существовать, раз они вступают во взаимоотношения. И картинно недоумевают, где в пустом множестве найти объект, обладающий указанным свойствами?

[arseniiv]

Sicker
Ну напишите рекуррентные формулы явно; потом выпишите значения последовательности для нескольких наименьших индексов, для которых они выглядят точно правильными; и после этого попробуйте откатить с них по рекуррентности на ещё меньшие. Получается однозначно — вопросов нет. Не получается однозначно — вопросов тоже в принципе нет, но с ответом обратной полярности.

[Sicker]

kotenok gav в сообщении #1474850 писал(а):

Нет, т.к. данные символы не имеют смысла (ни при пустом множестве, ни при непустом множестве).

А что по первой строчке?

arseniiv в сообщении #1474925 писал(а):

Ну напишите рекуррентные формулы явно; потом выпишите значения последовательности для нескольких наименьших индексов, для которых они выглядят точно правильными; и после этого попробуйте откатить с них по рекуррентности на ещё меньшие. Получается однозначно — вопросов нет. Не получается однозначно — вопросов тоже в принципе нет, но с ответом обратной полярности.

Рекурентные формулы такие, первый шаг - прибавляем единицу, второй шаг - умножаем на два, третий шаг - повторяем первый, четвертый шаг - повторяем второй и т.д. Разумеется пр нулевом шаге с числом ничего не произойдет. Обозначим выполнение этих операций над числом $x$ как $x\cdot a \cdot a \cdot a...$, спрашивается, чему равно $a \cdot a \cdot a...$?

[kotenok gav]

Sicker в сообщении #1474958 писал(а):

А что по первой строчке?

Она так же не имеет смысла. Вот когда определите ее - тогда и поговорим.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1474958 писал(а):

Обозначим выполнение этих операций над числом $x$ как $x\cdot a \cdot a \cdot a...$,

Выполнение какого числа этих операций? Или заранее фиксируем число выполнений, и для каждого числа рассуждаем отдельно?
В любом случае, тут у вас получается какое-то отображение $\mathbb R \to \mathbb R$ и его степень. Нулевой степенью отображения множества в себя логично считать тождественное отображение.

-- 20.07.2020, 17:11 --

С башнями, видимо, предлагается рассмотреть функцию, определенную на конечных последовательностях, по следующему правилу: $f(\langle x_1\rangle) = x_1$, $f(\langle x_1, \ldots, x_n, x_n\rangle) = x_1^{f(\langle x_2, \ldots, x_n\rangle)}$. Если попытаться распространить это определение на пустую последовательность - получится $x = f(\langle\rangle)^x$. Значит определить $f$ по этому определению не получается.

[Sicker]

kotenok gav
mihaild
А вот тут математик дает это в качестве упражнения)

-- 20.07.2020, 17:32 --

arseniiv в сообщении #1474837 писал(а):

На идейном уровне это двойственно пустоте объединения пустого семейства множеств. Правда идей мало. Если мы в ZFC, сначала надо доопределить операции на классы, которых язык теории не разумеет. Если в NBG, классы там уже родные. А вот в хитрых теориях множеств ваше утверждение может вполне наверно быть и неверным — и лишь когда для них определяемы «классы» вообще.

Я кажется понял, это как то связано с конъюнкцией пустого семейства аргументов. По этой же логике объединение пустого семейства множеств является пустым множеством

[mihaild]

Sicker в сообщении #1474965 писал(а):

А вот тут математик дает это в качестве упражнения

Что "это"?

[Sicker]

mihaild в сообщении #1474966 писал(а):

Что "это"?

Цитата:

Сумма пустого множества чисел есть 0.
Произведение пустого множества чисел есть 1.
Упражнение: вычислите значение башни степеней
x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1474963 писал(а):

Если попытаться распространить это определение на пустую последовательность - получится $x = f(\langle\rangle)^x$.

Нет, так нельзя рассуждать. В равенстве $f(\langle x_1,x_2,\ldots,x_n\rangle)=x_1^{f(\langle x_2,\ldots,x_n\rangle)}$ мы можем отщеплять слева только первый элемент $x_1$. Пустую последовательность аргументов, как у Вас, мы не можем отщепить - равно как и любую другую последовательность аргументов, кроме состоящей из одного первого элемента.

А рассуждать надо вот как: полагая в записанном выше равенстве $n=1$, получим $f(\langle x_1\rangle)=x_1^{f(\langle\rangle)}$. С другой стороны, $f(\langle x_1\rangle)=x_1$. Таким образом, искомое значение $f(\langle\rangle)$ должно при любом $x_1$ удовлетворять равенству $x_1^{f(\langle\rangle)}=x_1$. Значит, разумно принять $f(\langle\rangle)=1$. Значение башни степеней для пустого семейства чисел равно $1$.

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1474974 писал(а):

Нет, так нельзя рассуждать

Да, пардон, сначала про ассоциативность с правильной стороны думал, потом перепутал

[Sicker]

Mikhail_K в сообщении #1474342 писал(а):

Вот первый пришедший в голову пример.
Вот два эквивалентных определения открытого множества в метрическом пространстве: 1) $M$ открыто, если $M={\rm{Int}}M$; 2) $M$ открыто, если у любой точки $x\in M$ существует окрестность $O_r(x)$ подходящего радиуса $r>0$, такая что $O_r(x)\subset M$.
(В первом из этих определений ${\rm{Int}}M$ определяется как $M\backslash\partial M$, граница $\partial M$ определяется в терминах точек прикосновения, а они - непосредственно через метрику.)
Существует несложное доказательство эквивалентности этих определений.

Зададим теперь себе вопрос: пустое множество - оно открытое или нет? Из первого определения понятно, что открытое, ибо ${\rm{Int}}\varnothing=\varnothing\backslash\partial\varnothing=\varnothing$. Чтобы понять это из второго определения, нужны "свойства пустого множества".

Кстати, тут можно проще - объединение открытого множества с открытым - открыто, с неоткрытым - неоткрыто. Объединение открытого множества с пустым открыто, значит пустое множество открыто

-- 22.07.2020, 16:52 --

То же самое верно и для замкнутости, т.е. пустое множество одновременно и замкнуто, и открыто

[mihaild]

Sicker в сообщении #1475214 писал(а):

Объединение открытого множества с пустым открыто, значит пустое множество открыто

Объединение $\mathbb R$ с $[0, 1]$ открыто, значит $[0, 1]$ открыто.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1474977 писал(а):

Да, пардон, сначала про ассоциативность с правильной стороны думал, потом перепутал

А как насчет $x+(y\cdot(z+(...)))$ при пустом множестве элементов? У меня получилась единица, а если поменять знаки сложения и умножения, то ноль.