2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 One competition in Croatia
Сообщение01.07.2020, 12:50 


01/08/19
95
Is a series $(a_n)$ and$$n\cdot a_n-a_{n-1}-(n-1)\cdot a_{n-2}=\frac{2n-3}{(n-1)(n-2)}$$for $n\geq 3$ convergent? If yes, find his limit.

My hint:Let ${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}={{x}_{n}},\text{ then }n{{x}_{n}}={{y}_{n}}$, and then ${{y}_{n}}-\frac{1}{n-1}={{z}_{n}}$, and you will get ${{z}_{k}}+{{z}_{k-1}}=0\Leftrightarrow \frac{{{z}_{k}}}{{{z}_{k-1}}}=-1/\prod\limits_{k=2}^{n}{\Rightarrow {{z}_{n}}}={{(-1)}^{n-1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: One competition in Croatia
Сообщение01.07.2020, 12:52 


21/05/16
4292
Аделаида
Ну так вы же дали решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: One competition in Croatia
Сообщение06.07.2020, 12:45 


01/08/19
95
Sorry, sorry, I forgot one 'detail' $a_1=1$ and $a_2=\frac{3}{2}$. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: One competition in Croatia
Сообщение20.07.2020, 08:53 


01/08/19
95
Solution:
$$n\cdot a_n-a_{n-1}-(n-1)\cdot a_{n-2}=\frac{2n-3}{(n-1)(n-2)}$$$$n\cdot a_n-n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-1}-(n-1)\cdot a_{n-2}=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}$$$$n\cdot (a_n-a_{n-1})+(n-1)\cdot(a_{n-1}-a_{n-2})=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}$$We introduce substitution: $x_{n-1}=a_n-a_{n-1}$
$$n\cdot x_{n-1}+(n-1)\cdot x_{n-2}=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}.$$We substitute again: $y_n=(n+1)\cdot x_n-\frac{1}{n}$, and we have $y_{n-1}+y_{n-2}=0$ and $y_1=0$.
Now we have $y_n=0$ for all $n\in \mathbb{N}$, and $x_n=\frac{1}{n\cdot (n-1)}$.
Now:$$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n\cdot (n-1)}=...=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}$$Therefore, the series is monotonous and bounded from above:$$L=
\lim_{n\to\infty} a_n=2.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group