Непрерывность функций.

[PavelDmitriev]

Помогите разобраться с данной задачей. Учусь на первом курсе СПбГУЭФ, по математическому анализу проходим непрерывность функций.
Формулировка задачи следующая:

Известно, что непрерывность функции $f(x)$ в точке $a$ на языке $\varepsilon-\delta$ по определению означает следующее:

$\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0:\forall x\in|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

Знак $\Rightarrow$ означает справедливость в одну сторону. (То есть, если значения аргумента отличаются меньше чем на $\delta$, то значения функции будут отличаться меньше наперед заданного $\varepsilon$).

Докажите, используя язык $\varepsilon-\delta$, что если выполняется условие непрерывности, то верно и обратное:
(То есть, если значения функции отличаются меньше чем на $\varepsilon$, то значения аргумента будут отличаться меньше наперед заданного $\delta$).

$\forall\delta>0, \exists\varepsilon>0:|f(x)-f(a)|<\varepsilon \Rightarrow |x-a|<\delta$.

Вроде бы думал, что знаю все про непрерывность, но с этим как то вообще в ступоре.. Честно говоря не задумывался, что в определении непрерывности имеется в виду только в одну сторону справедливость..
Может как-то от противного доказать? Например так:

$\exists \delta>0: \forall \varepsilon>0: |f(x)-f(a)|<\varepsilon \Rightarrow |x-a|>\delta$

Предположим, что нашлось такое $\delta^*$, тогда зафиксируем произвольное $\varepsilon$. Для этого $\varepsilon$, $\exists \delta$, такое что $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.
И тут как я понимаю есть 2 варианта:

1) $\delta^*>\delta$ тогда получаем противоречие.

2) $\delta^*\leqslant\delta$ а вот тут, не знаю как правильно обосновать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Null]

Пусть $f(x)=0$ -непрерывная в 0 функция.

[Евгений Машеров]

А доказуемое утверждение вообще верно? А то у меня ощущение, что то ли Вас троллят, то ли Вы какую-то важную деталь из условия опустили.
Рассмотрим $f(x)=x^2$
$|f(1)-f(-1)|=0<\varepsilon$ для любого положительного эпсилона, но $1-(-1)=2$