2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 13:21 


15/04/20
201
Д.Кнут в "Конкретной математике" на 49-ой странице в главе про суммы пишет: "Согласно переместительному закону, заменив $k$ на $n-k$, получим $S = \sum\limits_{0\leqslant n-k\leqslant n}(a+b(n-k)) = \sum\limits_{0\leqslant k\leqslant n}(a+bn-bk)$. Может ли мне кто-то, пожалуйста, объяснить, что здесь произошло с формальной точки зрения?(если быть точнее - является ли преобразование после второго равенства перестановкой, как в случае с суммой после первого равенства, где вместо $k$ появилось $n-k$). Появление $n-k$ я понимаю, потому что переместительный закон выше как раз и формулируется с помощью перестановок множества, по которому ведётся суммирование, а как мы снова безболезненно вернулись к $k$? Почему мы можем так вернуться к $k$, опираясь на 3 правила обращения с суммами, которые сформулированы выше по тексту(вынесение константы,ассоциативность и коммутативность)? Я бы понял, если бы просто обратным ходом $n-k$ заменили $k$, но такое действие содержательностью не отличается. Вот такой вот ступор у меня.

В общем, если я правильно понимаю свою проблему: нуждаюсь в объяснении второго перехода на основе тех трёх законов обращения с суммами. Нужно что-то типа того, как доказывается единственность нуля в группе по сложению, не по содержанию, но по сути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12649
VoprosT в сообщении #1474502 писал(а):
что здесь произошло с формальной точки зрения?
Мы пересчитали те же числа в обратном порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 13:40 


15/04/20
201
Утундрий в сообщении #1474503 писал(а):
VoprosT в сообщении #1474502 писал(а):
что здесь произошло с формальной точки зрения?
Мы пересчитали те же числа в обратном порядке.

Да нет, на пальцах я понимаю, что мы пересчитали те же числа в обратном порядке, а как объяснить то, что пишется буквами после второго знака равно(уточнил свою проблему,отредачил сообщение)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12649
VoprosT в сообщении #1474504 писал(а):
как объяснить то, что пишется буквами после второго знака равно
Там-то как раз всё понятно, а вот по какой переменной нужно суммировать после первого знака равно?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 14:35 


15/04/20
201
Утундрий в сообщении #1474505 писал(а):
VoprosT в сообщении #1474504 писал(а):
как объяснить то, что пишется буквами после второго знака равно
Там-то как раз всё понятно, а вот по какой переменной нужно суммировать после первого знака равно?..

По $k$.
Но в книге выше объясняется так, что мы должны суммировать $$\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}$$ после подстановки. Но после второго равенства у нас ведь фактически написано $$\sum\limits_{k\in K}a_{p(k)}$$, и это меня вообще вышибает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 16:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
VoprosT в сообщении #1474512 писал(а):
Но в книге выше объясняется так, что мы должны суммировать $$\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}$$ после подстановки. Но после второго равенства у нас ведь фактически написано $$\sum\limits_{k\in K}a_{p(k)}$$, и это меня вообще вышибает.
Это или опечатка, или там есть дополнительный контекст, или просто там сделали не совсем ту замену, как видится: заменили $n - k$ на $k$ под суммой, поменяв порядок суммирования, пока он ещё важен (в ваших записях в этой цитате порядок уже не определён), но не применяли замену в слагаемом. Короче выглядит как заредактированность, я бы кстати оригинал ещё посмотрел.

Вообще же они там вроде быстро переходили к пониманию суммы с индексами из множества, слагаемые в которой уже можно переставлять как попало при конкретном вычислении, или неправильно помню?

VoprosT в сообщении #1474502 писал(а):
Д.Кнут
Ну у него там соавторы вообще-то. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 17:00 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
arseniiv в сообщении #1474518 писал(а):
я бы кстати оригинал ещё посмотрел
Отличий нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"
Сообщение19.07.2020, 17:25 


15/04/20
201
В общем, я разобрался, кажется, просто не так понял авторов, но теперь всё так, всем спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group