Круг.

[dovlato]

В безвоздушном пространстве между круглыми полюсами электромагнита с общей осью симметрии
находится неподвижная заряженная частица. Сначала её расстояние от оси равно равно $R_0$,
а магнитного поля нет. Затем скачком включается однородное магнитное поле,
так что его индукция принимает определённое фиксированное значение.
Найти радиус орбиты, по которой начнёт двигаться частица.

[svv]

(Оффтоп)

$\frac 1 2 R_0$
Можно добавить, что центр орбиты $O$ будет как раз посередине между $A$ — начальной точкой и $B$ —пересечением оси симметрии с плоскостью, в которой кружится частица. Частица в своём вращении будет обязательно проходить через обе эти точки.

[dovlato]

У меня так же.

[svv]

Я решал так.
Надо найти скорость частицы к моменту, когда магнитное поле установилось. Записал силу, причём электрическое поле выразил через производную от магнитного поля:
$\mathbf F=\dfrac q c\left(\dfrac 1 2\mathbf r\times\dfrac{d\mathbf B}{dt}+\mathbf v\times\mathbf B\right)=\dfrac q {2c}\left(\dfrac{d}{dt}\left(\mathbf r\times\mathbf B\right)+\mathbf v\times\mathbf B\right)$
Тут $\mathbf r$ — радиус-вектор частицы. Он начинается на оси симметрии и перпендикулярен ей.
Тогда импульс, переданный частице за время включения:
$\Delta \mathbf p=\dfrac q {2c}\left(\left(\mathbf r\times\mathbf B\right)\Bigr\rvert_{0}^{\Delta t}+\int\limits_0^{\Delta t}\mathbf v\times\mathbf B\;dt\right)$
При $\Delta t\to 0$ первое слагаемое стремится к $\mathbf r_0\times\Delta \mathbf B$, а второе (интеграл) к нулю, откуда сразу после включения
$\mathbf v=\dfrac{q}{2mc}\mathbf r_0\times\mathbf B$

Угловая скорость вращения частицы относительно оси симметрии вдвое меньше угловой скорости вращения относительно центра орбиты (вписанный угол вдвое меньше центрального угла).

[dovlato]

У меня смешнее. Я это векторное уравнение написал уже после.. к сожалению, какого-то общего решения его так и не увидел. Хотя, подозреваю, могут быть какие-то частные решаемые случаи. Здесь же просто заметил, что так как импульс, полученный зарядом при включении магнитного поля, равен (в СИ)

$$p=\frac12qBR_0,$$

то

$$R=\frac{p}{qB}=\frac{R_0}2$$